En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire. En d'autres termes, c'est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.
Vect(A) est donc l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A. Vect(A) est une partie de E non vide (même lorsque A est l'ensemble vide) car le vecteur nul 0E, en tant que somme vide, est combinaison linéaire d'éléments de A.
Vect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel contenant A. Si A ⊂ B alors Vect(A) ⊂ Vect(B). En particulier, si A est une partie génératrice de E et si B contient A alors B est aussi une partie génératrice de E. Vect(A) = {λ1a1 + ··· + λnan | λ1,...,λn ∈ K}.
Un K-espace vectoriel est un ensemble E muni d'une loi d'addition qui permet d'ajouter deux éléments de E (appelés vecteurs) et d'une multiplication qui permet de multiplier un élément de E par un élément de K (appelé scalaire).
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F.
Le corps R des nombres réels est un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même, mais de dimension infinie sur le corps Q des rationnels.
Soient E un sous-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. On a toujours l'inclusion {0E} ⊂ F. En particulier, pour montrer que F = {0E} il suffit de montrer que F ⊂ {0E}. On a toujours l'inclusion F ⊂ E.
l'ensemble K est un corps ! IR ou C en première année. si tu parle de matrice, generalement K designe l'ensemble (plus exactement le corps) dans lequel sont prises les valeurs d'une matrice. on utilise K souvent comme une maniere raccourcie de dire "R ou C, indifferemment".
Réponses. Alors un Z-espace vectoriel, ça n'existe pas, car Z n'est pas un corps. On parle plutôt de Z-module, qui est défini tout pareil qu'un k-espace vectoriel (avec les mêmes axiomes) sauf qu'on remplace k par Z.
L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif n tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.
Un vecteur est noté A B → \overrightarrow{AB} AB ou u . La norme d'un vecteur, notée ∣ ∣ A B → ∣ ∣ ||\overrightarrow{AB}|| ∣∣AB ∣∣ est la longueur du vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB ou, autrement dit, la distance entre les points A et B.
On définit l'addition ou somme de deux vecteurs →u et →v, comme le vecteur dont les composantes sont obtenues par addition des composantes correspondantes des deux vecteurs →u et →v. On note →u+v le vecteur somme. →u+→v=(ux+vx,uy+vy). On peut donner une interprétation géométrique de cette opération.
Les coordonnées d'un vecteur v de notre espace vectoriel favori R2 dans une base (i,j) sont deux nombres x et y qui vérifient l'équation caractéristique des coordonnées : v = xi + yj. La recherche des coordonnées est donc un probl`eme de décomposition linéaire. (1 2 ) = x (3 4 ) + y (5 6 ) .
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).
Vocabulaire. Vecteur : objet mathématique représenté par un segment fléché dont les caractéristiques sont : le point d'application, la direction, le sens et la norme (dite aussi valeur ou intensité).
x(AB*)=x(B)-x(A) c'est à dire l'abscisse du point B moins l'abscisse du point A. y(AB*)=y(B)-y(A) c'est à dire l'ordonnée du point B moins l'ordonnée du point A.
Définitions. On apelle vecteur un segment de droite orienté noté . A est l'origine du vecteur et B son extrémité. On distingue trois types de vecteurs: vecteurs libres, glissants et liés.
La structure d'espace vectoriel a émergé au cours du XIXè siècle. C'est d'abord Grassmann qui, vers 1840, introduit la définition d'indépendance linéaire et de dimension. Puis c'est Peano, en 1888, qui formalise complètement la notion.
En théorie des probabilités (mais également en théorie de la décision), l'espace des évènements élémentaires est appelé l'univers.
L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...).
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
Oui, 0 appartient à Q. En effet, 0 peut être écrit comme la fraction 0/1, où 0 est un entier et 1 est un entier non nul.
Exemples : {(x,y,z)∈R3; x+y−3z=0} { ( x , y , z ) ∈ R 3 ; x + y − 3 z = 0 } est un sous-espace vectoriel de R3 .
On dit que F est un sous-espace vectoriel de E, si c'est un espace vectoriel et que F ⊂ E. Exemple : R2 est un sous-espace vectoriel de R3. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, il suffit souvent de montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu.
Bonne définition La dimension du sous-espace vectoriel des solutions d'un syst`eme d'équations homog`enes est donnée par la formule : Dimension (du sev des solutions) = nombre d'inconnues -rang du syst`eme d'équations.