I) Le parallélogramme.
- Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c'est un parallélogramme. - Si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux de même longueur alors c'est un parallélogramme. - Si un quadrilatère a deux de ses côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.
On détermine donc si le quadrilatère est un trapèze. Si ce n'est pas le cas, on conclut que la figure est un quadrilatère quelconque. Un quadrilatère non croisé est un trapèze si et seulement si deux de ses côtés sont parallèles.
Pour nommer ce quadrilatère, il faut citer les sommets dans l'ordre où ils apparaissent en parcourant le quadrilatère. Différents noms possibles : ABCD, BCDA, DCBA, … mais pas ABDC. Le mot vient du gaulois lausa = pierre plate Les lauzes recouvrent encore les toits de quelques maisons anciennes.
Propriétés du parallélogramme
Les diagonales se coupent en leur milieu. Le centre du parallélogramme est le centre de symétrie. Les côtés opposés sont parallèles. Les côtés opposés sont de même longueur.
Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s'il possède une paire d'angles consécutifs de somme égale à 180°, soit π radians. La somme des deux autres angles est alors la même. Par exemple dans la figure ci-dessus, les deux paires d'angles ont pour sommets (A,D) et (B,C).
En particulier, un trapèze isocèle, un rectangle sont des quadrilatères inscriptibles. Le théorème de Ptolémée permet d'affirmer qu'un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Dessiner un trapèze quelconque
Un trapèze possède seulement une paire de côtés opposés parallèles qui sont nommés « petite base » et « grande base » en raison de leur longueur différente.
Si un quadrilatère a les quatre côtés de la même longueur alors c'est un losange. Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires alors c'est un losange. Si les diagonales d'un quadrilatère sont axes de symétrie alors c'est un losange.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? On peut dire que ABCD est un parallélogramme car ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu I. De plus, ABCD est un rectangle car il a un angle droit en B.
Rappel : un quadrilatère ACBD est croisé si les deux diagonales [AB] et [CD] sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave. Un quadrilatère croisé est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont égaux. ACB = ADB.
Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède deux angles droits .
On nomme un polygone en fonction du nombre de ses côtés : o le triangle est un polygone qui a trois côtés ; o le quadrilatère est un polygone qui a quatre côtés ; o le pentagone est un polygone qui a cinq côtés ; o l'hexagone est un polygone qui a six côtés ; o l'heptagone est un polygone qui a sept côtés ; o l' ...
Axes de symétrie d'un quadrilatère
Un quadrilatère quelconque n'admet pas d'axe de symétrie. Un losange possède deux axes de symétrie. Ces axes sont les bissectrices des angles du losange. Un rectangle possède deux axes de symétrie.
Un angle aigu est un angle qui mesure moins de 90°. Un angle droit est un angle qui mesure 90°. Un angle obtus est un angle qui mesure plus de 90°.
Le rectangle est un quadrilatère qui possède 4 angles droits. On dit aussi qu'il a 2 côtés successifs perpendiculaires.
Les mesures des quatre angles à l'intérieur de tout quadrilatère ont une somme de 360 degrés. Cela signifie que l'angle 𝐴 plus l'angle 𝐵 plus l'angle 𝐶 plus l'angle 𝐷 est égal à 360 degrés. Les mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible ont une somme de 180 degrés.
Quadrilatère : figure géométrique plane, dotée de 4 côtés (et par conséquent de 4 angles) ; Rectangle : quadrilatère dont les 4 angles sont droits (angles à 90°) ; Triangle : figure géométrique plane dotée de 3 côtés (et par conséquent de 3 angles) ; Triangle rectangle : triangle doté d'un angle droit (angle à 90°).
Un polygone non convexe (voir aussi non-convexe), concave ou rentrant, désigne un polygone simple ayant au moins un angle rentrant intérieur, c'est-à-dire un angle dont la mesure se situe entre 180 et 360 degrés.
Par les angles
Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les angles opposés sont supplémentaires (leur somme est π radians, soit 180°). Ou de façon équivalente, si et seulement si chaque angle externe est égal à l'angle interne opposé.
les diagonales ont le même milieu ; les côtés opposés sont parallèles ; les côtés opposés ont la même longueur ; deux côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur.
Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme et a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange. Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme et a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.