Alors la fonction dérivée de f est définie par : f′(x) = nxn–1. Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction (u + v) est dérivable sur I : (u + v)′ = u′ + v′. Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
On dit qu'une fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 à gauche ou à droite respectivement.
Ainsi, limx→af(x)−f(a)x−a=ℓ. lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a = ℓ . Si ℓ∈R, ℓ ∈ R , ceci prouve que f f est dérivable en a a et que f′ f ′ est continue en a a puisque limx→af′(x)=f′(a)=ℓ.
Soit f : [a, b] → R une fonction. (1) Soit x0 ∈]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Si f est dérivable sur I et si x0∈I x 0 ∈ I n'est pas une borne de I alors f admet un extremum local en x0 si et seulement si x0 est un point critique et f′ change de signe autour de x0 . Si f est de classe C2 sur I intervalle ouvert, si x0 est un point critique de f et si f′′(x0)>0 f ″ ( x 0 ) > 0 (resp.
On a ainsi : f (x) = u(x) + v(x). Pour tout x de R , u'(x) = 1 et v'(x) = 2x. On constate sur cet exemple que : f '(x) = u'(x) + v'(x) .
Lorsqu'une fonction n'est pas linéaire, sa pente peut varier d'un point à l'autre. Il nous faut donc introduire la notion de dérivée qui permet d'obtenir la pente en tout point de ces fonctions non linéaires.
[f(g(x))]' =f'(g(x))&×g'(x). Cette formule permet par exemple de calculer la dérivée de f : x ↦ sin(x²) car f est la composée x ↦ x² suivie de x ↦ sin(x).
La dérivée d'une fonction composée, f ∘ g , se calcule en utilisant la formule ( f ∘ g ) ′ ( x ) = g ′ ( x ) × f ′ ( g ( x ) ) . Quant aux limites d'une fonction composée, si lim x → a g ( x ) = b , nous avons que lim x → a f ∘ g ( x ) = lim x → b f ( x ) .
Soit deux réels a et b appartenant à I tels que a < b. Soit A et B deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et b. Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à : f (b) − f (a) b− a . égal à : f (a + h) − f (a) a + h − a = f (a + h) − f (a) h .
si la dérivée est nulle sur tout l'intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition.
Définition. La dérivée d'une fonction f(x) représente le taux de variation de cette fonction. Elle peut être dénotée f'(x) ou encore dfdx. Le calcul et l'étude de la dérivée sont des notions importantes dans l'étude des fonctions.
Si f ^ { \prime } est strictement positive sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur \text{I.} Si f ^ { \prime } est strictement négative sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur \text{I.}
Exemple d'utilisation : pour définie sur , sa fonction dérivée est car la dérivée de x2 est 2x (comme on a 3x2, on multiplie 2x par 3) et la dérivée de x est 1 (que l'on multiplie par -2).
Le symbole d d x donne la précision qu'il s'agit de la dérivée par rapport à . On peut l'appliquer à l'expression de la fonction. Par exemple, si est la fonction qui à tout réel fait correspondre son carré , la dérivée de peut s'écrire d d x ( x 2 ) .
Alors la fonction (u + v) est dérivable sur I et sa dérivée est u + v . On note : (u + v) = u + v . Remarque : De la même façon, on a donc (u − v) = u − v . Propriété : Dérivée d'un quotient Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telle que, pour tout x de I, v (x) = 0.
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point si, et seulement si, elle admet une dérivée en ce point. Elle est dérivable sur un intervalle si, et seulement si, elle admet une dérivée en tout point de cet intervalle.
Pour que la fonction valeur absolue soit dérivable en 0, il doit exister un réel unique L tel que tende vers L lorsque h tend vers 0. Or : si h > 0, donc on aurait L = 1 ; si h < 0, donc on aurait L = −1.
Pour être plus précis, l'inverse du calcul de la dérivée est le calcul de primitive. Le calcul de primitive est l'un des moyens de calculer une intégrale. On peut aussi calculer une intégrale de façon géométrique, ou par des encadrements, des passages à la limite…
Exemple 1.7 (Valeur absolue)
Soit f la fonction « valeur absolue » : f (x) = |x|. f (x)−f (0) x =−1. Ainsi f est dérivable à droite et à gauche en 0 : fd (0)=+1 et fg (0) = −1, mais fg (0) = fd (0) donc f n'est pas dérivable en 0.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
Pour calculer le nombre dérivé, il faut utiliser la formule suivante : lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . Il est également possible d'évaluer la fonction dérivée au point donné.