Pour une matrice carrée M, sa trace est la somme de ses coefficients diagonaux, notée Tr(M). Exemple : La trace est une forme linéaire sur l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, qui vérifie en outre Tr(AB)=Tr(BA) pour toutes matrices A et B.
En algèbre linéaire, la trace d'une matrice carrée A est définie comme la somme de ses coefficients diagonaux et souvent notée Tr(A). La trace peut être vue comme une forme linéaire sur l'espace vectoriel des matrices. Elle vérifie l'identité : Tr(AB) = Tr(BA), et est en conséquence invariante par similitude.
Pour trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique. Exemple : La matrice 2x2 M=[1243] M = [ 1 2 4 3 ] a pour polynôme caractéristique P(M)=x2−4x−5=(x+1)(x−5) P ( M ) = x 2 − 4 x − 5 = ( x + 1 ) ( x − 5 ) .
La multiplication matricielle est associative : quelles que soient les matrices A, B et C, ( A × B ) × C = A × ( B × C ) (A×B)×C=A×(B×C) (A×B)×C=A×(B×C)
1. On multiplie dans l'ordre, élément par élément, chaque élément d'une ligne de la première matrice A par chaque élément d'une colonne de la deuxième matrice B et ce, pour l'ensemble des éléments des deux matrices. 2. On effectue la somme de ces produits pour obtenir une nouvelle matrice.
Pour trouver/déterminer des vecteurs propres , prendre M une matrice carré d'ordre n et λi ses valeurs propres. Les vecteurs propres sont les solutions du système (M−λIn)→X=→0 ( M − λ I n ) X → = 0 → avec In la matrice identité.
Pour inverser une matrice à deux lignes et deux colonnes, il faut : échanger les deux coefficients diagonaux. changer le signe des deux autres. diviser tous les coefficients par le déterminant.
Pour une matrice carrée M, sa trace est la somme de ses coefficients diagonaux, notée Tr(M). Exemple : La trace est une forme linéaire sur l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, qui vérifie en outre Tr(AB)=Tr(BA) pour toutes matrices A et B.
La trace d'une matrice est l'addition des valeurs sur sa diagonale principale (en partant du coin en haut à gauche et en se décalant d'une case vers la droite et vers le bas).
tr(AB)=tr(BA)
Si l'on note C=AB et D=BA, où A et B sont deux matrices carrées de dimension n à coefficients réels, on a, pour tout couple (i,j) d'éléments de [[1,n]], ci,j=n∑k=1ai,kbk,j, ce qui donne dans le cas où i=j, ci,i=n∑k=1ai,kbk,i.
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Comment calculer la matrice des cofacteurs ? La comatrice ( matrice des cofacteurs ) d'une matrice carrée M est notée Cof(M) C o f ( M ) . Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice SM associée (ce déterminant est noté Det(SM) Det ( S M ) ou |SM| et est aussi appelé mineur.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
Le spectre de T, noté σT, est l'ensemble des racines du polynôme caractéristique de T. Ainsi, les éléments du spectre sont exactement les valeurs propres de T, et la multiplicité d'une valeur propre λ dans le spectre est égale à la dimension du sous-espace caractéristique de T associé à λ .
On appelle noyaude la matrice A, noté Ker (A) , l'ensemble des matrices colonnes X ∈ Mq,1(R) telles que AX = (0)p×1 .
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Il est nécessaire, pour pouvoir faire le produit de deux matrices A et B, que le nombre de colonnes de la matrice A soit égal au nombre de lignes de la matrice B. Ainsi, les dimensions des matrices A et B doivent être respectivement (n,m) et (m,p).
Deux matrices A = ( a i k ) de type ( , ) et B = ( b k j ) de type ( , ) peuvent se multiplier. Le produit de ces deux matrices est une matrice C = ( c i j ) de type ( , ), où l'élément c i j de est obtenu en sommant les produits des éléments de la ième ligne de par les éléments de la jème colonne de .
La matrice d'un produit scalaire dans une base quelconque est toujours inversible. En effet, si AX = 0, alors `a fortiori t XAX = 0, c'est `a dire x2 = 0, et donc X = 0. ∀X,Y ∈ Mn1(R), t XAY = t XBY Alors A = B. Si A = Mate((|)), B = Mate((|)), P = Pe↦→f , alors B = t P AP .