L'espérance et la variance d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p sont obtenues grâce aux formules E(X)=np et V(X)=np(1−p).
La variance de la loi binomiale est donnée par l'expression n p ( 1 − p ) . Ici, (n\) est le nombre d'expériences et est la probabilité de réussite. Si la variance d'une variable aléatoire est petite, alors les valeurs de la variable sont souvent proches de l'espérance.
en probabilité, on définit de même la variance de la variable aléatoire X, que l'on note V(X), et l'écart-type σ(X) : la variance est égale à la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Dans ce calcul, on pondère la moyenne par les probabilités (comme on le fait pour le calcul de l'espérance).
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut p(1 – p). Le kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour p = 1/2 la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c'est-à-dire 1.
C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance. La variance est l'écart carré moyen entre chaque donnée et le centre de la distribution représenté par la moyenne.
La formule de la variance est V= ( Σ (x-μ)² ) / N. On démontre que V= ( (Σ x²) / N ) - μ². Cette formule est plus simple à appliquer si on calcule la variance à la main.
En résumé, pour justifier que X suit une loi binomiale, il suffit de dire que : on répète des épreuves identiques et indépendantes. chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec). X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
On calcule la moyenne des variances, ou variance intra-classes : Vintra=p∑k=1nkNVk. V intra = ∑ k = 1 p n k N V k . On calcule la variance des moyennes, ou variance inter-classes : Vinter=p∑k=1nkN(mk−M)2. V inter = ∑ k = 1 p n k N ( m k − M ) 2 .
En probabilité, la loi binomiale permet de décrire le nombre de succès dans une série d'expériences identiques et indépendantes, où il existe deux résultats possibles : succès ou échec. Elle est définie par deux paramètres : le nombre total d'expériences (n) et la probabilité de succès dans chaque expérience (p).
Donc si X et Y sont deux v.a. indépendantes, alors var(X + Y ) = var(X) + var(Y ). Définition (plus faible que l'indépendance) : deux v.a. X et Y sont non- corrélées si cov(X, Y )=0. Il suffit donc que X et Y soient non-corrélées pour que var(X + Y ) = var(X) + var(Y ).
La variance d'une variable aléatoire V(X) est l'espérance mathématique du carré de l'écart à l'espérance mathématique. C'est un paramètre de dispersion qui correspond au moment centré d'ordre 2 de la variable aléatoire X. C'est l'équivalent de la variance observée S2.
Moyenne : La moyenne arithmétique est la somme des valeurs de la variable divisée par le nombre d'individus. La variance : La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type : c'est la racine carrée de la variance.
Définition : Variance d'une variable aléatoire discrète
Cela peut être calculé en utilisant la formule suivante : V a r ( 𝑋 ) = 𝐸 ( 𝑋 − 𝜇 ) , où 𝜇 = 𝐸 ( 𝑋 ) = ( 𝑥 × 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥 ) ) est l'espérance de 𝑋 et 𝑥 représente toutes les valeurs que 𝑋 peut prendre.
Et la raison pour laquelle on divise par N est tout simplement que la probabilité associée à chaque élément de la population finie de taille N est 1/N menant au calcul de la variance σ2.
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
Les propriétés de l'espérance sont au programme de terminale. La variance est l'espérance des carrés des écarts par rapport à l'espérance. Pour dire les choses plus simplement, V(X) =E((X−E(X)2). = E ( ( X − E ( X ) 2 ) .
Une variance est toujours positive. La valeur d'une variance ne peut être interprétée que par comparaison à la valeur d'une norme ou d'une autre variance. Si une variance est nulle, cela veut dire que toutes les observations sont égales à la moyenne, ce qui implique qu'il n'y a aucune variation de celles-ci.
L'ANOVA univariée est généralement utilisée lorsque l'on a une seule variable indépendante, ou facteur, et que l'objectif est de vérifier si des variations, ou des niveaux différents de ce facteur ont un effet mesurable sur une variable dépendante.
Bernoulli invente (découvre) la loi binomiale, souvent notée B(n,p) : il y a Cnk façons (nombre de combinaisons de k objets parmi n.)
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
Lorsque n prend de grandes valeurs, et que p est petit, la loi binomiale B(n , p) est approchée par la loi de Poisson P(np) (conservation de la moyenne). Les conditions d'approximation sont n ≥ 30, p ≤ 0,1 et n p < 15.
On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p. X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n. On admet les résultats suivants sur l'espérance et l'écart type d'une loi binomiale de paramètres n et p : E(X) = np ; V(X) = npq ; .
La variance de X est donc Var(X) = Cov(X, X). Intuitivement, la covariance caractérise les variations simultanées de deux variables aléatoires : elle sera positive lorsque les écarts entre les variables et leurs moyennes ont tendance à être de même signe, négative dans le cas contraire.
On note ¯x sa moyenne et s2 sa variance.
C'est la somme des carrés des écarts par rapport à la moyenne / nombre de degrés de liberté = SCE/ddl (ceci lorsque le nombre d'individus composant l'échantillon est réduit ; sinon, utiliser N'=N). La variance est le carré de l'écart-type.