Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des coefficients diagonaux. Si A est triangulaire par blocs, ie si A s'écrit A=(BD0C), A = ( B D 0 C ) , alors det(A)=det(B)det(C) det ( A ) = det ( B ) det ( C ) .
Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes de la diagonale principale. En particulier, le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des termes de la diagonale principale.
Définition : Déterminant d'une matrice 2 × 2
Soit 𝐴 une matrice 2 × 2 définie par : 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 . Le déterminant de 𝐴 (noté d e t 𝐴 ou | 𝐴 | ) est : d e t ( 𝐴 ) = | | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 | | | = 𝑎 𝑑 − 𝑏 𝑐 .
Plus formellement, une matrice carrée d'ordre de terme général a i , j est triangulaire supérieure si pour tout entier avec 1 ≤ i ≤ n , et tout entier tel que 1 ≤ j < i , a i , j = 0 .
Théorème : Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs dont les blocs sur la diagonale sont des matrices carrées est égal au produit des déterminants des blocs diagonaux. En général, le déterminant de M=(ACBD) M = ( A C B D ) n'est pas det(A)det(D)−det(B)det(C). det ( A ) det ( D ) − det ( B ) det ( C ) .
Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est égal au produit des termes diagonaux.
Ainsi, pour calculer l'inverse, la première étape est de trouver la matrice des mineurs. La deuxième étape est ensuite de trouver la comatrice. Ensuite, la troisième étape consiste à trouver la transposée de la comatrice.
La matrice A étant triangulaire supérieure son polynôme caractéristique est ( 1 − X ) ( 2 − X ) ( 3 − X ) . Il est scindé et chaque valeur propre a pour multiplicité 1 : elle est donc diagonalisable.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Définition : Matrice triangulaire
Si les éléments au-dessous de la diagonale principale sont nuls, la matrice est une matrice triangulaire supérieure. Si les entrées au-dessus de la diagonale principale sont nuls, la matrice est une matrice triangulaire inférieure.
Le déterminant sera un outil essentiel pour identifier les points maximum et minimum ou les points de selle d'une fonction de plusieurs variables. Une matrice est dite de dimension lorsque celle-ci possède rangées et colonnes.
Le déterminant d'une matrice 2 × 2 est calculé en prenant la différence des produits de ses diagonales : | | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 | | | = 𝑎 𝑑 − 𝑏 𝑐 . Le déterminant de la matrice nulle 2 × 2 est 0.
En dimension 2, le déterminant est l'aire algébrique du parallélogramme construit sur −→ u et −→ v . Cette aire est positive si (−→ u , −→ v ) est direct, négative si c'est indirect.
On transforme la matrice A en une matrice triangulaire supérieure U en éliminant les éléments sous la diagonale. Les éliminations se font colonne après colonne, en commençant par la gauche, en multipliant A par la gauche avec une matrice triangulaire inférieure.
Méthode n°1 : Si A est une matrice triangulaire, A est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre.
Le déterminant d'un système de n vecteurs est nul si et seulement si ce système est lié (et ce, quelle que soit la base de référence). Le déterminant d'une matrice (ou d'un endomorphisme) est nul si et seulement si cette matrice (ou endomorphisme) est non inversible.
1. On multiplie dans l'ordre, élément par élément, chaque élément d'une ligne de la première matrice A par chaque élément d'une colonne de la deuxième matrice B et ce, pour l'ensemble des éléments des deux matrices. 2. On effectue la somme de ces produits pour obtenir une nouvelle matrice.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Si A est diagonalisable, (D, N)=(A, 0) est la décomposition de Dunford de A . En effet, D = A est diagonalisable, N = 0 est nilpotente, DN = ND = 0 et A = A +0= D + N. Si A est nilpotente, (D, N) = (0,A) est la décomposition de Dunford de A .
Question d'origine : Est ce qu'on peut dire que la matrice nulle est une matrice diagonale ? Oui (si elle est carrée).
Une matrice n×n s'appelle matrice carrée [square matrix] de taille n. On dit parfois matrice rectangulaire pour une matrice qui n'est pas nécessairement carrée. La matrice nulle de taille 3×3 et le vecteur nul de taille 3 prennent la forme suivante : 03×3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 03 = 0 0 0 .
Locution nominale. (Algèbre linéaire) Matrice diagonale (et donc carrée) dont les coefficients diagonaux sont tous égaux, et donc multiple de la matrice unité de même dimension par un scalaire.
λ est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ∈ n tel que AX = λX. −2 11 −2 8 −7 6 . −2 11 −2 8 −7 6 −1 0 1 = 2 0 −2 = −2 −1 0 1 = −2X1.