➡️ Par exemple, pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c, les racines peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique. Autrement dit, un réel a est un racine de P si P(a) = 0. On dit aussi que a est solution de l'équation P(x) = 0.
Synonyme de solution d'une équation. Dans l'équation « 0x = 0 », toute valeur de x est solution ou racine de l'équation. L'équation « ax + b = o » où a ≠ 0, ne possède qu'une seule racine, soit x = – ba.
- Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles notées x1 et x2. On a alors : x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0.
Pour une équation du second degré sous la forme a x 2 + b x + c = 0 , le discriminant, représenté par , est la valeur b 2 − 4 a c . Le discriminant est utile pour savoir le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré. Si , alors il y a deux solutions (ou racines) distinctes.
Étape 1 : Calcul du discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si Δ = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si Δ > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(Δ))/2a, (-b+racine(Δ))/2a}.
Le discriminant est défini par Δ = 𝑏 − 4 𝑎 𝑐 , ce qui permet d'écrire la formule des racines du second degré comme 𝑥 = − 𝑏 ± √ Δ 2 𝑎 .
b. 2x² + 5x – 3 est un polynôme du second degré de la forme ax2 + bx + c, avec a = 2, b = 5 et c = –3. Son discriminant est ∆ = b² – 4ac = 5² – 4 × 2 × (–3) = 49.
Algébriquement : valeur(s) qui annule(nt) la fonction (y = 0). Si △ < 0, alors la parabole possède 0 racine. Si △ = 0, alors la parabole possède 1 racine. Si △ > 0, alors la parabole possède 2 racines.
Racines du trinôme
Soit T une fonction trinôme définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Les racines du trinôme T\left(x\right) sont les valeurs de x pour lesquelles il s'annule. Ce sont les solutions de l'équation T\left(x\right)=0 c'est-à-dire ax^2+bx+c=0.
Il existe un moyen de résoudre une équation du second degré sans passer par le calcul du discriminant: la factorisation. Cette méthode consiste à trouver une relation entre le produit de a par c d'une part, et b de l'autre.
Si b2 -4ac = 0, alors l'équation a une racine double. Si b2 -4ac < 0, alors l'équation n'a pas de solution. L'équation a deux racines distinctes. On dit que l'équation a une racine double.
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R par , avec a un réel non nul, b et c deux réels. Sa représentation graphique est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut lorsque et vers le bas lorsque . Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse .
Pour multiplier ou diviser des racines carrées, on utilise la propriété selon laquelle la racine carrée du produit est égale au produit des racines carrées et la racine carrée du quotient est égale au quotient des racines carrées. 👉🏼 Par exemple : √3 × √7 = √21. √12 ÷ √4 = √3.
En mathématiques, une racine d'un polynôme P(x) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de x2 – x sont 0 et 1.
La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif x associe le nombre réel positif noté x dont le carré est x. On peut noter cette fonction f ( x ) = x f(x)=\sqrt x f(x)=x avec x ≥ 0 x\geq0 x≥0.
Exemple : L'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A, égal à b2 − 4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60.
Si le discriminant est égal à , l'équation a x 2 + b x + c = 0 a une racine réelle double. Si le discriminant est négatif, l'équation a x 2 + b x + c = 0 n'a pas de racine réelle.
Propriété Soit f ( x ) = a x 2 + b x + c où a ≠ 0 un polynôme du second degré et Δ = b 2 − 4 a c son discriminant. Si : se factorise sous la forme f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) où et sont les deux racines du polynôme.
Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois ou celle des nombres algébriques.
La lettre Δ (delta majuscule de l'alphabet grec) correspond à une variation au sens le plus général, c'est-à-dire à une différence entre deux quantités. Par exemple, si on mesure la taille (la hauteur H en cm) d'un enfant à deux âges différents, on pourrait constater qu'il est passé de 120 cm à 140 cm .
C'est donc une équation du second degré. Le nombre de solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 (avec a\neq 0), dépend du signe du discriminant \Delta : Si \Delta<0, l'équation n'admet aucune solution réelle. Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
Utiliser le graphique: Quand la parabole est au dessus des abscisses, ax2+bx+c est positif. Quand la parabole est en dessous des abscisses, ax2+bx+c est négatif. On présente les résultats sous la forme d'un tableau de signe.
Toute racine de 1 est 1 .