Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne dépend pas de celle de l'autre. On va donner une définition mathématique de cette notion. Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A) × P(B).
La probabilité que deux évènements indépendants se réalisent dans une même expérience aléatoire est égale au produit de leurs probabilités. Ainsi, si A et B sont des évènements d'un espace probabilisé U, on a l'égalité : P(A) × P(B) = P(A ∩ B)
Les évènements dépendants et indépendants
Des évènements dépendants sont des évènements dont la réalisation de l'un affecte la réalisation de l'autre. Des évènements indépendants sont des évènements dont la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.
On dit que 𝐴 et 𝐵 sont des évènements incompatibles si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ . Cela revient à dire que les évènements ne peuvent pas se produire en même temps, car 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 ( ∅ ) = 0 . On dit qu'un ensemble d'évènements est incompatible s'ils sont incompatibles deux à deux.
On commence par rappeler que, d'après la règle additive de probabilité, 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴 ) + 𝑃 ( 𝐵 ) − 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) . Donc, 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = 0 , 6 + 0 , 5 − 0 , 4 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) = 0 , 7 . En d'autres termes, la probabilité que 𝐴 ou 𝐵 ou les deux 𝐴 et 𝐵 se produisent est 0,7.
Or, C∪(A∩B)=A d'où P(A)=P(C)+P(A∩B) et P(C)=P(A)−P(A∩B). Ainsi, en combinant les deux résultats, on obtient P(A∪B)=P(A)−P(A∩B)+P(B), c'est-à-dire P(A∪B)+P(A∩B)=P(A)+P(B).
L'union indique ce qui peut être soit une chose soit une autre, soit les deux à la fois. Son signe est « ∪ » et se prononce « union ». Il se traduit donc par OU. Ces deux notions sont reliées par la formule A ∪ B = A + B – (A ∩ B)
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne dépend pas de celle de l'autre. On va donner une définition mathématique de cette notion. Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A) × P(B).
Deux événements A et B sont dits indépendants (par rapport à P ) si P(A∩B)=P(A)P(B), P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) , ce qui peut encore s'écrire, si P(A)≠0 P ( A ) ≠ 0 , P(B|A)=P(B) P ( B | A ) = P ( B ) .
Évènements qui comportent des résultats en commun et qui peuvent ainsi se réaliser en même temps. On dit aussi que des évènements compatibles sont joints ou inclusifs. Si deux évènements A et B sont compatibles, alors A ∩ B ≠ ∅.
Son évènement contraire est « tirer la boule blanche ou la boule verte ». La somme de la probabilité d'un évènement A et de la probabilité de son contraire est égale à 1. On a donc P(A) + p( ) = 1.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le réalisent. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience aléatoire est égale à 1.
Pour le construire, on part d'une origine que l'on nomme racine de l'arbre, puis on construit les branches qui mènent aux feuilles appelées nœuds, c'est-à-dire à tous les événements possibles. Sur chacune des branches on indique la probabilité de l'événement correspondant, on appelle cela le poids de la branche.
Deux événements A et B sont incompatibles ssi A ⋂ B = ∅. Autrement dit, deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent se réaliser en même temps. exemple: On lance deux dés et on fait la somme des points obtenus. Soit A l'événement “obtenir une somme égale à 12” et B l'événement “obtenir une somme égale à 3”.
La probabilité d'un évènement impossible est 0. Si la probabilité fréquentielle d'un évènement d'une expérience aléatoire est proche de 0, on dit que cet évènement est presque impossible.
La variance de la loi binomiale est donnée par l'expression n p ( 1 − p ) . Ici, (n\) est le nombre d'expériences et est la probabilité de réussite. Si la variance d'une variable aléatoire est petite, alors les valeurs de la variable sont souvent proches de l'espérance.
On appelle événement une partie de l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. L'événement est dit élémentaire s'il ne correspond qu'à une seule et unique issue.
Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la réalisation de 𝐴 n'affecte pas la probabilité que 𝐵 soit réalisé. C'est-à-dire 𝑃 ( 𝐵 ∣ 𝐴 ) = 𝑃 ( 𝐵 ) , où 𝑃 ( 𝐵 ∣ 𝐴 ) représente la probabilité que l'évènement 𝐵 se réalise sachant que l'évènement 𝐴 se réalise.
Pour calculer la probabilité d'un événement, vous pouvez simplement utiliser la formule générale de probabilité : P = n/N.
La probabilité qu'un événement 𝐵 se réalise sachant que l'événement 𝐴 s'est déjà réalisé est 𝑃 ( 𝐵 ∣ 𝐴 ) = 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑃 ( 𝐴 ) , où 𝑃 ( 𝐵 ∣ 𝐴 ) est la probabilité que 𝐵 se réalise sachant que 𝐴 s'est réalisé, 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) est la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se réalisent (se produisent) simultanément et 𝑃 ( 𝐴 ) est la ...
Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion est une opération ensembliste de base. En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique ou inclusif et est notée ∪.
L'union est donc associée à la notion du « ou » en probabilités. Dans un diagramme de Venn, l'union des ensembles A et B, notée A∪B, A ∪ B , comprend tout ce qui se trouve à l'intérieur de l'ensemble A et de l'ensemble B, incluant la partie commune aux 2 ensembles.
Pour déterminer l'intersection de deux intervalles, on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué et on repère les points du premier intervalle plus tous les points du second intervalle.
Applications. L'application la plus connue de la formule du crible est sans doute, en combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les...), la détermination du nombre de dérangements d'un ensemble. fini.