Multiplication d'une matrice par un scalaire Pour multiplier une matrice par un scalaire, il faut multiplier chaque élément de la matrice par ce scalaire. Le produit obtenu est donc une nouvelle matrice.
On définit la matrice B=Q×A×P. Calculer B et exprimer pour n entier naturel non nul Bn en fonction de n. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a : An=P×Bn×Q.
Réponse. On rappelle que pour multiplier une matrice par un nombre (un scalaire), on multiplie chacun des coefficients de la matrice par ce nombre. Ainsi, pour multiplier 𝐴 par 3, on multiplie chaque coefficient par ce nombre ; on a alors 3 𝐴 = ( 3 × ( − 1 ) 3 × ( − 8 ) ) = ( − 3 − 2 4 ) .
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu. Soit la matrice M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr\cr 1 & 2 \end{pmatrix}.
On peut calculer directement le déterminant de A α en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne. Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3. Lorsque α ∈ { 0 , π } le rang de A α est strictement inférieur à 3.
Rappelons que le déterminant d'une matrice 2 × 2 est donné par d e t 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎 × 𝑑 − 𝑏 × 𝑐 . Cela conduit à d e t 𝐴 = ( − 4 ) × 5 − ( − 1 0 ) × 3 = 1 0 . Par conséquent, le déterminant de la matrice donnée est 10. Comme le déterminant est non nul, nous savons que l'inverse d'une matrice existe.
Soit A une matrice carrée d'ordre n. On dit que A est une matrice inversible s'il existe une matrice B carrée d'ordre n vérifiant la double égalité : A B = B A = In avec In, la matrice identité d'ordre n. B est une matrice inverse si B = A-1.
caractérisation d'une matrice inversible
Soit une matrice de M n ( K ) . Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
On calcule la matrice produit C = A B . Chacun des éléments de la matrice est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la matrice . Plus précisément c i , j est le produit scalaire du vecteur a i → et du vecteur b j → .
On transforme la matrice A en une matrice triangulaire supérieure U en éliminant les éléments sous la diagonale. Les éliminations se font colonne après colonne, en commençant par la gauche, en multipliant A par la gauche avec une matrice triangulaire inférieure.
Pour additionner deux matrices, il suffit d'additionner les éléments occupant les mêmes positions dans chaque matrice. La somme obtenue est une nouvelle matrice. Pour soustraire deux matrices, il suffit de soustraire aux éléments de la première matrice les éléments occupant la même position dans la deuxième matrice.
Le résultat obtenu est la matrice identité, composée de 1 dans sa diagonale et de 0 pour les autres valeurs. Si on la note I, alors pour toute matrice carrée M de même dimension, on a : M × I = I × M = M et M × M-1 = M-1 × M = I .
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Le déterminant d'une matrice 2 × 2 est calculé en prenant la différence des produits de ses diagonales : | | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 | | | = 𝑎 𝑑 − 𝑏 𝑐 .
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .
S'il existe une matrice appartenant à M n ( K ) telle que A B = B A = I n , elle est unique. Cela nous permet de définir l'inverse d'une matrice.
Ainsi, pour calculer l'inverse, la première étape est de trouver la matrice des mineurs. La deuxième étape est ensuite de trouver la comatrice. Ensuite, la troisième étape consiste à trouver la transposée de la comatrice.
On peut obtenir un inverse à gauche, de ta matrice 6×3. Ta matrice représente une application linéaire f:K3→K6, où K est le corps de base. En supposant que ta matrice est de rang 3, f est injective sur son image, elle admet donc un inverse à gauche : g:K6→im(f)≃K3 tel que g∘f=idim(f)=I3.
Un vecteur propre de A est un vecteur non nul x tel que Ax = αx, pour un certain scalaire α. b) Un scalaire α est appelé une valeur propre de A si l'équation Ax = αx admet une solution non triviale x; cet x est appelé le vecteur propre associé à α. Soient A = ( 1 6 5 2 ) ,u = ( 6 −5 ) ,v = ( 3 −2 ) .
Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice A = ( 1 0 0 0 ) de M 2 ( K ) ( K = R ou K = C ) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc A n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.