un ensemble non vide est habité, et peut se formuler : un ensemble qui n'est pas ∅ possède au moins un élément. Affirmer son équivalence à un ensemble habité est non vide nécessite le tiers exclu et n'est donc pas valide en logique intuitionniste.
On dénote par ∅ l'ensemble vide, celui composé d'aucun élément. Le symbole ∈ indique qu'un élément appartient à un ensemble. À l'inverse, le symbole ∉ identifie un élément qui n'appartient pas à un ensemble. L'ensemble est dit un sous-ensemble de si et seulement si tous les éléments de sont aussi des éléments de .
Notation On va noter P∗(N) l'ensemble des parties non vides de N. Toute partie non-vide de N admet un minimum. ∀P : P(N), si P est non vide alors ∃m : N,m ∈ P et ∀p : P,m ≤ p. On montre par récurrence sur n que si P ∩ [0..n] est non vide, alors P admet un élément plus petit que tous les autres.
Voici comment : 0 est identifié à l'ensemble vide.
Un ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément. On le représente par le symbole ∅ ou par 2 accolades vides : { }.
Un ensemble E est fini au sens de Tarski quand toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion, ou encore (par passage aux complémentaires) quand toute famille non vide de parties de E admet un élément maximal pour l'inclusion.
une partie O est un ouvert si pour tout x dans O etc... Si O est vide, c'est donc vrai aussi, donc ∅ est un ouvert. On peut le comprendre comme un passage obligé pour être logiquement cohérent avec le calcul propositionnel en logique classique.
L'ensemble ℕ vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.
L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble : pour tout ensemble B, ∅ ⊂ B (en effet, puisque ∅ n'a pas d'éléments, il n'est pas possible de trouver un élément de ∅ qui ne soit pas dans B). Pour dire que A est inclus dans B, on dit aussi que A est un sous-ensemble de B, ou encore que A est une partie de B.
Propriétés. En effet, l'ensemble vide ne contient aucun élément. Si A est un ensemble, tout élément de l'ensemble vide appartient à A, car justement il n'y en a pas.
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.
On dit que f admet un maximum en a si, pour tout x∈E x ∈ E , f(x)≤f(a) f ( x ) ≤ f ( a ) . On dit que f admet un minimum en a si, pour tout x∈E x ∈ E , f(x)≥f(a) f ( x ) ≥ f ( a ) . On parle parfois de maximum ou de minimum global de la fonction, et on dit que f(a) est le maximum (resp.
Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).
Tout ensemble muni de sa topologie grossière est connexe. Il en résulte que l'ensemble vide est connexe, ainsi que tout espace réduit à un point.
Le symbole de l'infini, en mathématiques et au-delà des mathématiques, est « ∞ », inventé par le mathématicien John Wallis au XVII e siècle, signe dont l'origine est controversée et dont la forme peut évoquer un « 8 » horizontal (mais ce n'est pas en référence au chiffre 8 que ce signe fut choisi) ; cette forme a été ...
- L'ensemble vide Ø est un ensemble indépendant cependant il génère {0} espace vectoriel de dimension 0.
En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro. La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre.
Formellement, démontrer une inclusion E ⊂ F entre deux ensembles revient à démontrer l'implication x ∈ E ⇒ x ∈ F . Si E et F sont deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel, et si ( u1 , … , u n ) est une famille génératrice de E , il suffit de montrer que tous les vecteurs u i appartiennent à F .
Exemple 1 L'ensemble des parties d'un ensemble X contient toujours l'ensemble vide ∅ et l'ensemble X lui-même. L'ensemble des parties de l'ensemble vide est l'ensemble {∅ } formé d'un seul élement ∅.
Valeur de 0!
0! = 1. puisque par convention, le produit vide est égal à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique ici car elle permet à des formules de dénombrement obtenues en analyse combinatoire d'être encore valides pour des tailles nulles.
Pourquoi 0 puissance 0 est égal à 1 ? Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 donne 1 par convention. Mais 0^0 est une forme indéterminée. Par exemple la limite de x^x est de la forme 0^0 quand x→0 (sans atteindre 0).
Zéro. En français, le nombre zéro est considéré tantôt comme étant à la fois positif et négatif, tantôt comme n'étant ni positif, ni négatif.
L'ensemble vide est un ouvert (l'intersection de deux ouverts peut en effet être vide). entière. des deux demi-droites ouvertes figurées ci-contre est l'intervalle [a,B] fermé, y dont on a vu qu'il n'est pas, ouvert). fermé, tout ensemble réduit à un point, tout ensemble discret sont des fermés.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
R est un fermé ; une intersection de fermés est un fermé ; la réunion d'une famille finie de fermés est un fermé.