La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. De même, pour y ∈ DY , on a IP(Y = y) = ∑x∈DX IP(X = x, Y = y). À partir de la loi du couple, on retrouve facilement la loi de chacune des variables.
La loi du couple (X,Y), appelée loi de probabilité simultanée ou loi conjointe, est la loi de la variable aléatoire Z définie par l'ensemble des nombres pij, (0 ≤ pij < 1) tels que : pij = Pr(X = xi ∩ Y = yi).
On calcule les probabilités P([X = x]∩[Y = y]) pour tout (x,y) ∈ X(Ω)×Y (Ω). Comme pour une variable aléatoire unique, on résume souvent la loi sous la forme d'un tableau, cette fois à double entrée. La somme de toutes les probabilités est toujours égale à 1.
Chaque épreuve est représentée par deux branches : l'une pour le succès, l'autre l'échec. À chaque extrémité, on rajoute deux branches (succès et échec) pour l'épreuve suivante. On recommence jusqu'au nombre total d'épreuves. À chaque extrémité finale, on peut compter le nombre de succès obtenus.
Dans le cas d'une variable aléatoire continue, la loi de probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs définies dans un intervalle donné. En effet, pour une variable aléatoire continue, la probabilité associée à l'évènement {X=a} est nulle, car il est impossible d'observer exactement cette valeur.
On considère la variable aléatoire X qui correspond au plus petit des 2 chiffres obtenus avec les dés. Par exemple, si on obtient 4 avec le dé n°1 et 3 avec le dé n°2 alors X prend la valeur 3.
On dit que la variable aléatoire X suit une loi géométrique de probabilité p, si X est égale au nombre de tirages à effectuer pour avoir un succès dans une série d'épreuves de Bernouilli de probabilité p. La variable aléatoire X peut donc prendre toutes les valeurs entières : 1,..,n,...
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
De manière générale, la loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve qui n'admet que deux issues (épreuve de Bernoulli) : 1 pour « succès », 0 pour « échec », ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une telle expérience aléatoire.
Quel que soit n, la variance d'une loi binomiale B(n, p) est maximale lorsque p = 0,5. Si par exemple n = 10, f(0,5) = 10 × 0,5 × (1 – 0,5) = 2,5. La variance de la loi binomiale B(10 ; p) est maximale pour p = 0,5 et vaut alors 2,5.
Forme de référence la plus simple : la droite La droite exprime une relation entre X et Y du type Y = aX + b. Si la forme du nuage s'apparente à une droite, on parle alors de corrélation linéaire entre les variables.
La probabilité de la réalisation consécutive des évènements indépendants A et B est donnée par P(A∩B)=P(A)×P(B). P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B ) .
Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si, pour tous intervalles A et B de R P(X∈A, Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B).
Cette valeur est calculée en fonction de la distance parcourue (m) ainsi que de la force du mouvement de rotation. Elle peut être obtenue avec la formule suivante : Couple (Nm) = Force (N) x Distance (m).
La loi de Poisson se définit par une formule assez compliquée. E[X] = λ σ (X) = √ λ. C'est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égale à sa variance. Le nombre de joueurs qui vont gagner au loto la semaine prochaine.
Théorème (espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes) : Si X et Y sont indépendantes et admettent une espérance, alors XY admet une espérance et E(XY)=E(X)E(Y) E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) .
Il permet d'expliquer de nombreux phénomènes, notamment en aérodynamique. Par le théorème de Bernoulli, plusieurs lois et effets sont associés à la mécaniques des fluides : l'effet Magnus, l'effet Venturi, le tube de Pitot ou encore la loi de l'hydrostatique.
Discrète mais bien connue, la loi de Poisson est une loi de probabilité qui s'applique aux évènements rares. Parmi ses domaines de prédilection, les contrôles de qualité (y compris révision comptable, puisqu'on suppose que les erreurs sont rares), les probabilités de défaut de crédit, les accidents...
La loi hypergéométrique (loi d'une variable aléatoire lors d'un tirage sans remise) peut être approchée par la loi binomiale lorsque le nombre d'individus de la population est très grand devant le nombre d'individus étudiés. On peut alors également approcher la loi binomiale par une des deux lois précédentes.
Du mathématicien suisse Jacques Bernoulli.
La loi binomiale négative est une loi de probabilité proche de la loi géométrique. Cette dernière s'applique à une variable discrète qui compte le nombre d'essais avant d'arriver à un succès (de probabilité p).
Pour calculer la probabilité d'un événement, vous pouvez simplement utiliser la formule générale de probabilité : P = n/N.
Les probabilités peuvent être exprimées en fractions, décimales et pourcentages. Par exemple, il peut être impossible qu'une chose se produise. On pourrait alors dire que la probabilité est de zéro. On peut aussi être absolument certain qu'une chose se produise.
Une variable discrète est toujours numérique. Par exemple, le nombre de plaintes de clients ou le nombre de défauts. Les variables continues sont des variables numériques ayant un nombre infini de valeurs entre deux valeurs. Une variable continue peut être numérique ou il peut s'agir de données de date/d'heure.
En algèbre, on tente de généraliser les calculs en remplaçant très souvent les nombres par des lettres. Ces lettres se nomment des variables. Une variable peut être représentée par n'importe quelle lettre de l'alphabet. Dans ces expressions algébriques, les lettres a, b, c, y et z sont des variables.