On dit qu'une fonction f définie au moins sur I est décroissante sur I si pour tous x et x dans I tels que x ≥ x , on a f (x) ≤ f (x ). On dit que f est monotone sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. La fonction carré x ↦→ x2 n'est pas monotone : en effet, bien qu'elle soit ”tantôt croissante, tantôt décroissante”, elle n'est ni croissante ni décroissante.
Une fonction est monotone lorsqu'elle est croissante sur I ou lorsqu'elle est décroissante sur I . Étudier le sens de variation d'une fonction, c'est découper son ensemble de définition en intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
1. Qui est toujours sur le même ton, qui offre une grande uniformité de son, de rythme : Chant monotone. 2. Qui lasse par le manque de variété dans les intonations ou les inflexions : Acteur monotone.
Ainsi la fonction monotone définie par f : [ 0 , 1 ] → R , ∀ x ∈ [ 0 , 1 ] f ( x ) = 0 et f ( 1 ) = 1 est intégrable et son intégrale vaut de façon évidente .
5.3 Inverse d'une fonction monotone
Si on suppose que f ne s'annule jamais sur I, et qu'elle est de signe constant, alors la fonction inverse est monotone sur , de monotonie contraire à celle de f et de même signe.
Une matrice A ∈ Mn(R) est dite monotone si elle satisfait la propriété suivante : ∀x ∈ Rn, Ax ≥ 0 =⇒ x ≥ 0.
La monotone de chaleur est la courbe représentant le nombre d'heures durant lesquelles la puissance thermique est appelée au cours de l'année et ce pour chaque puissance appelée comprise entre un arrêt du chauffage (puissance nulle) et la puissance thermique maximale appelée.
Soient I un intervalle de R, et f : I −→ R une fonction continue. Supposons que l'intervalle I est stable par f. Notons (un) la suite définie par la donnée de u0 ∈ I et la relation de récurrence un+1 = f(un). Si la fonction f est strictement croissante sur I, alors la suite (un) est monotone.
Les fonctions constantes sont les seules fonctions simultanément croissantes et décroissantes. Toute fonction affine est monotone (strictement croissante si le taux d'accroissement est strictement positif, strictement décroissante si le taux d'accroissement est négatif).
Pour montrer qu'une fonction f(x) est croissante, il suffit de montrer f(x + a) > f(x) si a est strictement positif ou ce qui revient au même que f(x + a) - f(x) > 0 si a > 0. Avec f(x) = x3 on y arrive comme suit : (x+a)3−x3=x3+3ax2+3a2x+a3−x3.
− d'une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant (On exprime un+1 en fonction de un pour tout entier naturel n). Cette relation est appelée relation de récurrence. Exemple Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n par un+1 = −2un + 3. Calculer u1 et u2.
Déterminer le sens de variation de la suite
Lorsque tous les termes sont strictement positifs, le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q donne le sens de variation : si 0<q\leq 1, la suite est décroissante. si 0<q< 1, la suite est strictement décroissante. si q=1, la suite est constante.
(Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
( Polynôme caractéristique d'une matrice ) Si f : E → E est un endomorphisme, le polynôme caractéristique χf de f est le polynôme caractéristique d'une matrice Mat(f; B) pour une base B de E. Autrement dit, χf = det(f − Xid).
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Si a et b désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire a ou b sont des réels ou sont les symboles − ∞ ou + ∞ ) alors les extrémités de l'intervalle sont lim x → a f ( a ) et lim x → b f ( x ) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).
La fonction qui à tout nombre réel x non nul associe son inverse x1 est appelée fonction inverse. Elle est définie sur − ] ∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; + ∞ [ -]\infty\ ;\,0[\,\cup\,]0\ ;\,+\infty[ −]∞ ;0[∪]0 ;+∞[ par f ( x ) = 1 x f(x)=\dfrac{1}{x} f(x)=x1.
Fonction inverse - Points clés
La fonction inverse a pour formule f ( x ) = 1 x et son ensemble de définition est R ∖ { 0 } . La dérivée de la fonction inverse est f ( x ) = − 1 x 2 . Elle est donc décroissante sur son ensemble de définition. La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle. Proposition : Soit f:[−a,a]→C f : [ − a , a ] → C une fonction continue par morceaux.
On dit que est intégrable sur si toute somme de Riemann S n ( f ) converge quand tend vers l'infini (c'est-à-dire quand les longueurs des intervalles tendent vers 0).
est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité a une mesure de Lebesgue nulle. L'ensemble des discontinuités peut être de mesure nulle sans être fini ou dénombrable, comme pour la fonction caractéristique de l'ensemble de Cantor, qui n'est donc pas réglée.