Signe d'un trinôme du second degré
Soit Δ = b² - 4ac le discriminant de ce trinôme. Comme > 0 , P(x) est du signe de a. Comme Δ est négatif, est positif et est positif.
Définition : Signe d'une fonction
Le signe d'une fonction permet de savoir quand la fonction est positive, négative ou nulle. Pour une fonction ? ( ? ) sur un intervalle ? , le signe est positif si ? ( ? ) > 0 pour tout ? dans ? , le signe est négatif si ? ( ? ) < 0 pour tout ? dans ? .
Soit le polynôme P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) et Δ son discriminant. Si Δ ≤ 0, alors P(x) est du signe de a. Si Δ > 0, alors P(a) admet deux racines x1 et x2.
Calculer le discriminant \Delta
On a \Delta = b^2-4ac.
Définition : Discriminant d'une équation du second degré Si Δ est strictement positif, alors il y a deux solutions réelles à l'équation du second degré. Si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle (répétée). Et si Δ est strictement négatif, alors il n'y a pas de solutions réelles.
x' =( −b + √Δ ) / 2a et x'' =( −b − √Δ ) / 2a. Son discriminant est égal à Δ = 5² − 4×3×7 = 25 − 84= −59, le discriminant Δ est négatif.
- Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles notées x1 et x2. On a alors : x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0.
Ici, \Delta >0 . Le trinôme est donc du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.
On peut retenir l'ordre des signes grâce au raisonnement suivant : si le coefficient directeur a est positif, la fonction est croissante donc d'abord négative puis positive. si le coefficient directeur a est négatif, la fonction est décroissante donc d'abord positive puis négative.
Si f'\left(x\right)=ax^2+bx+c. Si la dérivée est une fonction trinôme du second degré, on calcule le discriminant \Delta et les éventuelles racines de f'\left(x\right) afin de déterminer son signe. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que \forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = -4x^2+3x+1.
On dira qu'une fonction f(x) est positive sur un intervalle donné en x si, sur cet intervalle, les valeurs de f(x) sont supérieures ou égales à 0 (positives). On dira qu'une fonction f(x) est négative sur un intervalle donné en x si, sur cet intervalle, les valeurs de f(x) sont inférieures ou égales à 0 (négatives).
Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A, égal à b2 − 4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60.
le Delta est un intermédiaire de calcul qui permet de savoir si l'équation a 0, 1 ou 2 solutions. Il y aura dans la suite des cours des tas d'exemples où il sera utile de savoir résoudre ces équations (notamment en physique et chimie, mais pas seulement).
Pour étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme factorisée puis on dresse un tableau de signes. f est la fonction définie sur R par f(x)=−3(x−1)(x+2).
Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.
Si c a est nul, le trinôme est factorisé et l'équation (E) admet la solution réelle 0 . Si c a est strictement négatif, on factorise le trinôme en utilisant l'identité remarquable : u 2 − v 2 = ( u + v ) ( u − v ) : T ( x ) = a ( x + − c a ) ( x − − c a ) .
Sciences. La lettre majuscule Δ est souvent utilisée en sciences et mathématiques pour nommer une différence entre deux grandeurs, delta étant l'initiale du mot grec διαφορά (diaphorá), « différence ». L'opérateur laplacien est noté Δ ; l'opérateur nabla prend la forme d'un delta renversé, ∇.
+ β , où α et β sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
Re : delta prime
De mémoire, on se servait de Delta' quand le coef de x était pair. genre ax²+2bx+c=0. Bref, on peut simplifier par 2. Ça n'a aucun intérêt, même à la glorieuse époque où les calculatrices n'existaient pas.
Pour cela, il faut calculer la variation absolue, c'est-à-dire faire la différence entre la valeur d'arrivée et la valeur de départ, que l'on divise par la valeur de départ, le tout multiplié par 100.