MÉTHODE 1. – Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
1) n est l'indice (ou le rang) et un le terme de rang n. Par exemple, un+1 est le terme de rang n + 1 (celui qui suit un) alors que un +1 est le terme de rang n augmenté de 1. 2) Attention ! (un ) désigne la suite alors que un est un nombre.
− d'une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant (On exprime un+1 en fonction de un pour tout entier naturel n). Cette relation est appelée relation de récurrence. Exemple Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n par un+1 = −2un + 3. Calculer u1 et u2.
Dire qu'une suite (Un) est décroissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un. On alors peut choisir l'une des deux méthodes suivantes : On calcule la différence Un+1 - Un : Si pour tout entier n, Un+1 - Un 0 alors la suite (Un) est croissante. Si pour tout entier n, Un+1 - Un 0 alors la suite (Un) est décroissante.
On peut aussi définir une suite par récurrence, en donnant son premier terme et une relation entre différents termes de la suite. Par exemple, soit (un)n∈ la suite définie par : u0 = 3 et, pour tout entier naturel n : un+1 = 2un − 1 (*). Pour calculer u1, on fait n = 0 dans (*) : u1 = 2u0 − 1 = 2 χ 3 − 1 = 5.
Forme explicite : si la suite (un) est géométrique de raison q et de premier terme u0, alors pour tout entier naturel n, un = u0qn. Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p, un = up qn−p. si q = 1, alors S = u0 +u1 +···+un = u0 1−qn+1 1−q .
La suite définie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite géométrique de raison 2. Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16… Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient de deux termes consécutifs quelconques est constant, quel que soit n.
Ainsi, le débit (noté Q) se calcule en multipliant la vitesse de passage du fluide mesurée en mètres par seconde (m/s) par la section de la canalisation exprimée en mètres-carrés (m²).
Si q = 1 alors la suite géométrique est constante : Un = U0. Si une suite géométrique est de raison 4 alors : elle est croissante si U0 = 1 ; U1 = 4 ; U2 = 16 ; U3 = 64... elle est décroissante si U0 = -1 ; U1 = -4 ; U2 = -16 ; U3 = -64...
Règles d'écriture. L'expression pour mille désigne la proportion de cas par millier d'unités. Le millième correspond à une fraction égale à 1/1000 de la masse totale. On peut aussi dire que pour mille équivaut au dixième d'un pourcentage.
Fonction inverse - Points clés
La fonction inverse a pour formule f ( x ) = 1 x et son ensemble de définition est R ∖ { 0 } . La dérivée de la fonction inverse est f ( x ) = − 1 x 2 . Elle est donc décroissante sur son ensemble de définition. La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
La fonction (g∘f) ( g ∘ f ) est appelée la composée de g par f . On lit cette composée g rond f . On peut également avoir (f∘g)(x)=f(g(x)) ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) qui est la composée de f par g .
Une relation doit se baser sur le respect mutuel et sur l'estime de soi. Les partenaires s'aiment comme ils sont, écoutent et respectent les opinions de l'autre même s'ils ne les partagent pas.
En mathématiques une relation est définie par son extension, ce qui signifie que la façon d'exprimer la relation importe peu, seul compte le résultat obtenu : dans le cas d'une relation binaire les couples d'éléments qui sont en relation et ceux qui ne le sont pas.
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn.
Pour calculer les valeurs d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser sa définition, un+1 = un + r, ou son terme général, un = u0 + nr.
Pour trouver la raison d'une suite géométrique, il faut diviser un terme de la suite par le terme précédent. Nous rappelons que la raison d'une suite géométrique est le nombre qui vérifie u n + 1 = q u n , pour tout , . La raison de la suite − 1 , 1 , − 1 , 1 , . . . est .
Règles de priorité
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, en commençant par les multiplications et les divisions qui ont priorité sur les additions et les soustractions.
Depuis l'Antiquité, les êtres humains ont fait preuve d'incroyables astuces pour pouvoir calculer. Ils ont utilisé des cailloux, des jetons, des boules et même leurs doigts avec lesquels ils pouvaient compter jusqu'à 9999!
Le quartile inférieur sera donc la valeur du point de rang (5 +1) ÷2 = 3, ce qui donne Q1=15. La moitié supérieure à la médiane est également séparée en 2. Le quartile supérieur sera la valeur du point de rang 6 + 3 =9, ce qui donne Q3 = 43. Une fois les quartiles trouvés, il est facile de mesurer la dispersion.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque u n u_n un s'exprime directement en fonction de n. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
Pour déterminer la raison d'une suite géométrique donnée, on divise n'importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.