Si u3 −u1 > 0, la suite (wn) est strictement croissante. Si u3 −u1 < 0, elle est strictement décroissante. Enfin, si u3 = u1, elle est constante égale `a u1. De plus si la suite (vn) est croissante, alors la suite (wn) est décroissante, et de même, si la suite (vn) est décroissante, alors la suite (wn) est croissante.
On suppose qu'il existe l > 0 tel que |f (x)| ≤ l < 1 pour tout x ∈ [a, b]. Soit u0 ∈ [a, b] et soit un la suite définie par récurrence par un+1 = f(un). Alors, la suite un converge vers l'unique point fixe α de f. De plus, si f (α) est = 0, il existe λ = 0 tel que l'on ait un −α ∼ λf (α)n.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
Voici une méthode générale pour étudier une suite récurrente définie par un+1=f(un) u n + 1 = f ( u n ) , où f:D→R f : D → R est continue et u0∈I u 0 ∈ I . Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…) Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l .
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
Convergence en probabilité. On dit que Xn converge en probabilité vers X si pour tout ϵ > 0, P(|Xn − X| > ϵ) → 0 lorsque n → ∞. Convergence dans L1 (ou en moyenne). On dit que Xn converge en moyenne vers X si E[|Xn − X|] → 0 lorsque n → ∞.
Proposition : Si la série ∑n≥0un(x) ∑ n ≥ 0 u n ( x ) converge normalement sur I , alors la suite des sommes partielles SN(x)=∑Nn=0un(x) S N ( x ) = ∑ n = 0 N u n ( x ) converge uniformément vers une fonction S sur I .
Pour démontrer des propriétés sur les suites, en particulier sur les suites définies par récurrence, on est parfois conduit à utiliser la démonstration par récurrence. Si une propriété est vraie à un premier rang noté n_0 et est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n_0.
Si le signe de la différence est positif ou nul pour tout n, la suite est croissante. Si le signe de la différence est négatif ou nul pour tout n, la suite est décroissante. Si la différence change de signe en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Si la fonction associée f est continue en l, alors la limite de la suite l est solution de l'équation f ( x ) = x f(x) = x f(x)=x. Calculer la limite de la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = √2 + un.
L'étude de la convergence simple revient à étudier la convergence des suites $(f_n(x))_{n\geq 1}$, lorsque $x\geq 0$ est fixé. Mais $x$ étant fixé, puisque $1+x>0$, on a clairement $f_n(x)$ qui tend vers $1/(1+x)$.
En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c'est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Une suite (un) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier n , on a un+2=aun+1+bun.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Définition. Une relation de récurrence est une équation qui exprime chaque élément de la suite comme une fonction des éléments précédents.
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.
On conçoit et on admet que si l'on sait démontrer que « ( P n ) (P_n) (Pn) vraie » entraîne « ( P n + 1 ) (P_{n+1}) (Pn+1) vraie », alors la proposition est vraie pour tout entier naturel n > 0 n > 0 n>0. C'est l'hypothèse de récurrence.
Si une suite s'exprime sous la forme explicite u n = A × B n , alors cette suite est géométrique de raison .
(Xn) converge en loi vers X si, notant Fn la fonction de répartition de Xn et F celle de X , en tout réel x où F est continue, on a : Fn(x)→F(x).
La série converge si et seulement si x = a. Dans ce cas, Tf (x) = c0 = f(a). 2. Il existe une constante R ∈ R telle que la série converge pour |x − a| < R et diverge pour |x − a| > R.
(L'unité de convergence est le m−1 ou dioptrie.)
Si les variables Xn, n ∈ N, sont de Bernoulli avec P(Xn = 1) = pn, P(Xn =0)=1 − pn, n ∈ N, pour tout 0 < ε ≤ 1, P(|Xn| ≥ ε) = P(Xn = 1) = pn. pn < ∞, la suite Xn, n ∈ N, converge presque sûrement vers la variable aléatoire X = 0. P(|Xn| ≥ ε) < ∞.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Théorème sur la convergence normale d'une série de Fourier : Soit f : R → C une fonction périodique de période T, continue et lisse par morceaux (C1 par morceaux). =⇒ Alors pour tout t ∈ R, la série de Fourier SN f(t) converge normalement (et donc uniformément), vers f(t) quand N → +∞.