Formule. k × A + k × B = k × (A + B). Pour réussir à factoriser, il faut donc identifier le facteur commun k, puis A et B. Ensuite, il faut remplacer les valeurs trouvées dans la formule.
Passage de la forme factorisée à la forme générale
Pour passer de la forme factorisée à la forme générale, il suffit de développer de façon algébrique l'équation de la fonction. Soit l'équation d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme factorisée: f(x)=4(x−2)(x+7) f ( x ) = 4 ( x − 2 ) ( x + 7 ) .
Factoriser un polynôme du second degré consiste à l'écrire sous la forme d'un produit de polynôme du premier degré. Ce n'est possible que si la fonction polynôme possède 1 ou 2 racines. Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit sous la forme où , , sont des réels avec .
Factoriser une expression littérale ou numérique, c'est transformer une somme ou une différence en un produit, c'est l'inverse du développement. A = 5 × ( x + 3 ) On écrit entre parenthèses les deux autres facteurs. Si les produits ne sont pas apparents, il faut les faire apparaître.
Factoriser une expression numérique ou littérale, c'est l'écrire sous la forme d'un produit. L'expression (3x – 7)(2x + 4) est factorisée car elle n'est composée que d'un seul terme qui comporte deux facteurs. Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.
Algèbre Exemples
Réécrivez 16x2 16 x 2 comme (4x)2 ( 4 x ) 2 . Réécrivez 49 comme 72 . Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l'aide de la formule de la différence des carrés, a2−b2=(a+b)(a−b) a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) où a=4x a = 4 x et b=7 .
I.
La fonction affine définie f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b s'annule et change de signe une fois dans son domaine de définition pour x = − b a x=-\dfrac{b}{a} x=−ab. Si a est positif, la fonction est négative puis positive. Si a est négatif, la fonction est positive puis négative.
Factoriser une expression numérique ou littérale, c'est l'écrire sous la forme d'un produit. Exemples d'expressions non factorisées : Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs. avec k, a et b trois nombres quelconques.
Petite astuce vous pouvez trouver le facteur commun entre 32 et 16 en divisant le plus gros membre par le plus petit -> 32/16 = 2 donc on peut prendre 16 pour facteur commun. Pour "x" il y aura un seul 16 (1x16=16) , et pour "y" il y en aura deux ( 2x16=32).
La forme canonique est une forme d'écriture paramétrique de l'équation d'une fonction. On dit que la forme canonique d'une fonction est porteuse de sens puisqu'elle donne de l'information sur l'allure de son graphique. On l'appelle aussi forme transformée.
Factoriser une expression littérale, c'est transformer une somme ou une différence en un produit, c'est l'inverse du développement. A = 5 × ( x + 3 ) On écrit entre parenthèses les deux autres facteurs. Si les produits ne sont pas apparents, il faut les faire apparaître.
Pour factoriser une expression de la forme a²+2ab+b², on utilise l'identité remarquable (a+b)². Par exemple, x²+10x+25 peut être écrit sous la forme (x+5)². Cette méthode est basée sur la reconnaissance de l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b² (qu'on peut toujours vérifier en développant le produit (a+b)(a+b)).
Factoriser une expression algébrique
Pour cela on peut chercher un facteur commun aux différents termes de la somme et utiliser en sens inverse les règles précédemment notées. ka + kb = k × a + k × b = k × (a + b) ka - kb = k × a - k × b = k × (a - b) On peut aussi reconnaitre une identité remarquable.
Réécrivez 9x2 9 x 2 comme (3x)2 ( 3 x ) 2 . Réécrivez 4 comme 22 . Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l'aide de la formule de la différence des carrés, a2−b2=(a+b)(a−b) a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) où a=3x a = 3 x et b=2 .
Les identités remarquables sont des égalités qui permettent de développer ou de factoriser facilement une expression. Les plus classiques sont celles de degré 2, valables pour tous a,b∈R a , b ∈ R : (a+b)2=a2+2ab+b2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a−b)2=a2−2ab+b2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a+b)(a−b)=a2−b2.
Algèbre Exemples
Réécrivez 8 comme 23 . Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l'aide de la formule de la différence des cubes, a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) où a=x et b=2 . Déplacez 2 2 à gauche de x x .
Factoriser un trinôme s'il est le développement d'un carré
Pour développer le carré d'une somme ou le carré d'une différence, on utilise les identités : ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
La forme développée sert à vérifier qu'il s'agit bien d'un polynôme du second degré. La forme factorisée sert essentiellement à résoudre des équations et inéquations du second degré. La forme canonique sert à étudier les variations ou trouver un extremum (minimum ou maximum).
Factoriser une expression littérale, c'est transformer une somme ou une différence en un produit, c'est l'inverse du développement. A = 5 × ( x + 3 ) On écrit entre parenthèses les deux autres facteurs. Si les produits ne sont pas apparents, il faut les faire apparaître.
Exemple. Pour factoriser le polynôme P= x3-x2-4x + 4 = 0, on constate que x=1 est une racine de P. Le polynôme se factorise donc sous la forme P= (x-1)(a x2+b x+c). On développe le membre de droite et on regroupe les termes de même degré.
C'est donc une équation du second degré. Le nombre de solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 (avec a\neq 0), dépend du signe du discriminant \Delta : Si \Delta<0, l'équation n'admet aucune solution réelle. Si \Delta=0, l'équation admet une unique solution (dite « double ») : x_0=\dfrac{-b}{2a}.
Définition 6 : On dit qu'un polynôme P est factorisable par (x − a) s'il existe un polynôme Q tel que pour tout x réel : P(x) = (x −a)Q(x) .