qui est appelée méthode de Horner. Un élément de la ligne inférieure s'obtient en multipliant l'élément qui le précède par le nombre figurant dans la première colonne, en plaçant le résultat dans sa colonne et en effectuant la somme de deux premiers nombres de la colonne.
Il faut construire un tableau de 3 lignes et n colonnes ou n est le degré du polynôme f (donc ici n vaut 4). La colonne 1 ne contient que le réel a = − 2 a = -2 a=−2 a la 2ème ligne, les autres cases restent vides.
Division d'un polynôme par (x−a) : Règle de Horner
On dispose dans la première ligne du tableau les coefficients des puissances successives de x du dividende à commencer par la puissance la plus élevée; ainsi, 2 est le coefficient de x4, 0 celui de x3, -18 celui de x2, 2 celui de x et 5 est le terme indépendant.
Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée Δ qu'on appelle le discriminant. Δ = b² - 4ac.
Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.
Si P=∑n≥0anXn P = ∑ n ≥ 0 a n X n n'est pas nul, il existe un plus grand indice n∈N n ∈ N tel que an≠0 a n ≠ 0 . Cet entier s'appelle le degré de P , noté deg(P) . Le coefficient an correspondant s'appelle le coefficient dominant de P .
Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Il faut donc à la base avoir au moins deux termes que l'on additionne ou soustrait. Par exemple dans 8x + 5, les deux termes sont 8x et 5. Dans 6(x+4)2 – 9, les deux termes sont 6(x+4)2 et 9.
Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes
Soient les polynômes P, Q et R. Si P = Q × R P=Q×R P=Q×RP, equals, Q, ×, R, alors Q et R sont des diviseurs de P.
Écrire les termes du dividende et du diviseur en ordre décroissant selon le degré de leurs termes. Diviser les premiers termes du dividende et du diviseur ensemble. Placer le résultat de cette division sous le diviseur. Le multiplier avec tous les termes du diviseur.
Tout polynôme du second degré peut se mettre sous la forme : f ( x ) = a ( x − α ) 2 + β où α = − b 2 a et β = f ( α ) .
Division synthétique par un polynôme quelconque
On additionne tous les nombres de la colonne immédiatement à droite. et on recommence ces deux étapes jusqu'au moment où la diagonale suivante dépasserait le dernier coefficient du dividende.
Du fait de sa convergence rapide, la méthode de Héron permet d'obtenir une bonne approximation de la valeur de √a même après peu d'étapes de calcul. , idéalement l'entier dont le carré est le plus proche de a, ce que suggérait d'ailleurs Héron lui-même dans la partie des Metrica consacrée à cette question.
Une expression littérale représente un quotient si le dernier calcul à effectuer est une division. On considère l'expression 3 ÷ (5 + ). La somme entre parenthèses, 5 + est prioritaire. On effectue la division en dernier.
Corollaire 1 : Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Plus précisément, pour tout x réel on a : P(x) = anxn +an−1 xn−1 +···+a1x +a0 = 0 ⇐⇒ a0 = 0, a1 = 0, . . ., an = 0.
La technique pour trouver des diviseurs repose sur une propriété mathématique: Si la division de A par B est égale à C, alors B et C sont des diviseurs de A (A, B et C sont des nombres entiers). La division de 28 par 7 est égale à 4, donc 7 et 4 sont des diviseurs de 28.
2°) On dira que 7 × x + 7 × 2 ( ou 7x + 14 ) est une expression développée, et, 9 ( 2y + 3 ) est une expression factorisée.
Si est un polynôme non nul, l'expression a n X n où est le degré de (i.e. a n ≠ 0 ), est appelée terme dominant de et notée d o m ( P ) . Le coefficient est appelé coefficient dominant du polynôme . Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.
Pour des polynômes à deux variables ou plus, le degré d'un terme est la somme des exposants des variables dans le terme ; le degré (parfois appelé degré total) du polynôme est à nouveau le maximum des degrés de tous les termes du polynôme. Par exemple, le polynôme x2y2 + 3x3 + 4y est de degré 4, le degré du terme x2y2.
- Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles notées x1 et x2. On a alors : x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0.