Pour calculer le pgcd de trois nombres x,y et z on utilise la formule suivante d'associativité du pgcd : pgcd(x,y,z) = pgcd (pgcd(x,y),z) et on peut changer l'ordre à volonté…
Le plus grand des diviseurs communs de deux nombres a et b est appelé le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de ces deux nombres. Recherche du PGCD de deux nombres entiers : Méthode: on fait la liste de tous les diviseurs de chaque nombre, puis parmi ceux qui sont communs aux deux nombres, on prend le plus grand.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres dont on cherche le PPCM par des diviseurs premiers. Le PPCM sera alors le produit de ces diviseurs premiers.
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
Les facteurs communs pour 12,45 sont 1,3 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,3 est 3 .
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
En effet, 420 = 2 x 10 x 21 et 540 = 2 x 10 x 27. Or PGCD(21 ; 27) = 3 donc PGCD(420 ; 540) = 2 x 10 x 3 = 60. Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Définition : Si a et b sont deux entiers, on appelle PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de a et b le plus grand des diviseurs communs de a et de b. On le note PGCD(a ; b). Exemple : L'ensemble des diviseurs de 45 est D45 = { 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 }. L'ensemble des diviseurs de 63 est D63 = { 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63 }.
Présentation. Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.
Pour trouver les multiples de 3, il faut additionner tous les chiffres composant le nombre : si le total est égal à 3, 6 ou 9, c'est bien un multiple de 3. Ex. : si l'on additionne le 1 et le 2 du nombre 12, on trouve 3 (1 + 2 = 3) ; donc 12 est un multiple de 3 (3 × 4 = 12).
Calculer le PPCM
Le plus petit commun multiple de 30 et 45 est 90.
Les facteurs communs pour 60,72 sont 1,2,3,4,6,12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,2,3,4,6,12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 est 12 .
Les facteurs communs pour 35,25 sont 1,5 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,5 est 5 .
PGCD – PPCM et congruence
Touche OPTN puis menu NUM(touches F6 puis F4 ) Sélectionner GCD(touches F6 puis F2 ) pour le PGCD Sélectionner LCM(touches F6 puis F3 ) pour le PPCM Sélectionner MOD(touches F6 puis F4 ) pour la congruence Utiliser le séparateur , entre les deux entiers.
Donc : k = PGCD ( 85 ; 34 ) On réitère le processus : 85 = 2 × 34 + 17. Le reste est 17.
Calculons le PGCD de 420 et 540 Dividende Diviseur Reste 540 420 120 420 120 60 120 60 0 Donc PGCD (420 ; 540) = 60 donc la taille maximale d'un carreau est 60 cm.
On effectue la division euclidienne de 120 par 72 : 120 = 72 × 1 48 Le PGCD de 120 et 72 est donc égal au PGCD de 72 et 48. On effectue la division euclidienne de 72 par 48 : 72 = 48 × 1 24 Le PGCD de 72 et 48 est donc égal au PGCD de 48 et 24.
Dans l'algorithme d'Euclide par soustraction, pour le calcul de pgcd(a, b), a ≤ b, a est soustrait successivement de b jusqu'à obtenir r < b. C'est le reste de la division euclidienne de a par b. Ce reste peut se calculer plus efficacement que par soustractions successives, en particulier si a est très supérieur à b.
L'algorithme d'Euclide fonctionne en utilisant le fait que si « d » divise à la fois « a » et « b », alors « d » divise aussi leur différence (« a » – « b »). Cela signifie que si « d » est le PGCD de « a » et « b », alors « d » est également le PGCD de « b » et (« a » – « b »).
Plus grand diviseur commun
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Indiquez tous les facteurs pour 45,75 pour déterminer les facteurs communs. Les facteurs communs pour 45,75 sont 1,3,5,15 1 , 3 , 5 , 15 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,3,5,15 1 , 3 , 5 , 15 est 15 .
Pour une introduction, voir Plus grand commun diviseur de nombres entiers. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10.
Indiquez tous les facteurs pour 72,90 pour déterminer les facteurs communs. Les facteurs communs pour 72,90 sont 1,2,3,6,9,18 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,2,3,6,9,18 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 est 18 .