Lorsque la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors l'espérance E(X)=np correspond à la valeur que prend X en moyenne. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches tirées dans une urne.
Espérance mathématique. L'espérance d'une variable aléatoire E(X) correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. C'est un paramètre de position qui correspond au moment d'ordre 1 de la variable aléatoire X. C'est l'équivalent de la moyenne arithmétique ˉX.
L'espérance sert donc à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois. Elle sert par exemple, en théorie des jeux, à prévoir la somme moyenne que chaque joueur va remporter.
= P(A) + P(B) – P(A – B) C'est-à-dire que la probabilité que l'un ou l'autre des deux événements se produise est égale à la probabilité que le premier événement se produise, plus la probabilité que le second se produise, moins la probabilité que les deux se produisent.
Deux évènements sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucun élément en commun. L'intersection entre des évènements incompatibles est vide (A∩B=∅ A ∩ B = ∅ ).
Un écart type important indique que les données sont dispersées autour de la moyenne. Cela signifie qu'il y a beaucoup de variances dans les données observées. À l'inverse, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne, plus l'écart type est faible.
Une variance est toujours positive. La valeur d'une variance ne peut être interprétée que par comparaison à la valeur d'une norme ou d'une autre variance. Si une variance est nulle, cela veut dire que toutes les observations sont égales à la moyenne, ce qui implique qu'il n'y a aucune variation de celles-ci.
Il en ressort qu'en 2021 l'espérance de vie à la naissance s'établit à 85,4 ans pour les femmes et à 79,3 ans pour les hommes : elle est en hausse par rapport à 2020, année où elle avait fortement baissé du fait de la pandémie de Covid-19 (– 0,5 an pour les femmes et – 0,6 an pour les hommes), mais toujours en dessous ...
L'espérance est donc la moyenne que l'on peut espérer si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois. - La variance (respectivement l'écart-type) est la variance (respectivement l'écart- type) de la série des xi pondérés par les probabilités pi.
Contrairement à l'étendue et à l'écart interquartile, la variance est une mesure qui permet de tenir compte de la dispersion de toutes les valeurs d'un ensemble de données. C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance.
Sentiment de confiance en l'avenir, qui porte à attendre avec confiance la réalisation de ce qu'on désire ; espoir : Vivre dans l'espérance. L'espérance d'un bel avenir.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut p(1 – p). Le kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour p = 1/2 la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c'est-à-dire 1.
La loi de Bernoulli permet de démontrer plusieurs résultats concernant les lois binomiales. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p. L'espérance mathématique de X est E(X)=p. La variance de X est V(X)=p(1−p).
Loi de Poisson. La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète. Elle décrit la probabilité qu'un événement se réalise durant un intervalle de temps donné, lorsque la probabilité de réalisation d'un événement est très faible et que le nombre d'essais est très grand.
L'expression fréquence = valeur n'est jamais ambigüe. Si valeur est un nombre entier positif, il s'agit de la fréquence absolue, c'est-à-dire l'effectif de la classe. Si valeur est un nombre compris entre 0 et 1 ou un pourcentage, il s'agit de la fréquence relative.
Une valeur d'écart type élevée indique que les données sont dispersées. D'une manière générale, pour une loi normale, environ 68 % des valeurs se situent dans un écart type de la moyenne, 95 % des valeurs se situent dans deux écarts types et 99,7 % des valeurs se situent dans trois écarts types.
La médiane est considérée comme le second quartile (Q2). L'écart interquartile est la différence entre le quartile supérieur et le quartile inférieur. L'écart semi-interquartile est la moitié de l'écart interquartile. Lorsque le jeu de données est petit, il est simple de trouver les valeurs des quartiles.
La variance (ou fluctuation) est la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type, noté , est la racine carrée de la variance.
La variance (ou fluctuation) est la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type, noté , est la racine carrée de la variance.
La moyenne est calculée comme la somme des valeurs d'une série divisée par le nombre de valeurs dans cette série. La médiane divise, quant à elle, la série étudiée en deux groupes égaux.
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne dépend pas de celle de l'autre. On va donner une définition mathématique de cette notion. Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A) × P(B).
Pour le construire, on part d'une origine que l'on nomme racine de l'arbre, puis on construit les branches qui mènent aux feuilles appelées nœuds, c'est-à-dire à tous les événements possibles. Sur chacune des branches on indique la probabilité de l'événement correspondant, on appelle cela le poids de la branche.
On dit que ? et ? sont des évènements incompatibles si ? ∩ ? = ∅ . Cela revient à dire que les évènements ne peuvent pas se produire en même temps, car ? ( ? ∩ ? ) = ? ( ∅ ) = 0 . On dit qu'un ensemble d'évènements est incompatible s'ils sont incompatibles deux à deux.