Définition: Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. par la translation de vecteur de AB . Propriété : Si AB = CD alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Inversement, si deux vecteurs ont le même sens, la même direction et la même norme, alors ils sont égaux.
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, nous devons soustraire les coordonnées du point de départ des coordonnées du point d'arrivée. Autrement dit, si nous disposons des points A ( x A , y A ) et B ( x B , y B ) , alors nous avons le vecteur A B → = ( x B − x A y B − y A ) .
Deux vecteurs A B → et C D → sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Les vecteurs équipollents (égaux)
Deux vecteurs sont équipollents (ou égaux) lorsqu'ils ont la même norme, la même direction et le même sens.
On détermine si cette égalité est vérifiée. Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y =0.
En mathématiques, plus précisément en géométrie vectorielle euclidienne, la relation de Chasles est une relation permettant d'additionner deux vecteurs dans un espace affine. Par extension, elle peut aussi être utilisée en géométrie plane, en intégration, en analyse complexe, etc.
Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v., il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions ayant une certaine propriété, matrices d'une forme particuli`ere, ...) ou une variante (u + v ∈ E et λu ∈ E, ou : λu + µv ∈ E).
Par définition, les combinaisons linéaires d'éléments d'un sev E restent dans E. On a donc bien A ⊂ E ⇒ Vect(A) ⊂ Vect(E) = E si E est un sev. Vect(A) = {λ−→v, λ ∈ R} est la droite vectorielle engendrée par −→ v si −→ v = −→ 0 .
Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées du produit d'un vecteur par un scalaire, on multiplie chacune des coordonnées par le scalaire.
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Choisir deux nombres non nuls. Calculer le carré de leur somme, puis retrancher au nombre obtenu le carré de leur différence et enfin, diviser ce dernier résultat par leur produit. Refaire le même calcul avec deux autres nombres.
Afin qu'un point respecte une égalité vectorielle, ses coordonnées doivent elles-même être solutions d'équations, que l'on peut déterminer à partir de l'équation vectorielle. Soit le repère \left(O;I,J\right). On donne les points A\left(2;4\right), B\left(1;-3\right) et C \left(5;-5\right).
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE. dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).
Etant donnés deux sous-espaces vectoriels et de , la somme des sous-espaces et est dite directe et s'écrit F ⊕ G si et seulement si tout élément de s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de et d'un élément de . La somme F ⊕ G est appelée somme directe de et .
En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, est une partie non vide F, de E, stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par : la somme de deux vecteurs de F appartient à F ; le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.
Lorsque deux forces, ⃑ 𝐹 et ⃑ 𝐹 agissent sur un corps au même point, l'action combinée de ces deux forces est la même que l'action d'une unique force, appelée la force résultante. On peut représenter l'égalité vectorielle ⃑ 𝑅 = ⃑ 𝐹 + ⃑ 𝐹 de deux façons, comme illustré sur la figure suivante.
La relation de chasle est un cas particulier d'addition de vecteurs, elle ne peut s'appliquer que lorsque l'extrémité du premier vecteur correspond au même point que l'origine du deuxième vecteur, dans ce cas le vecteur somme possède la même origine que le premier vecteur et a la même extrémité que le second vecteur.
Les vecteurs AB et CD sont égaux, en effet ils ont : même longueur : AB = CD même direction : (AB) // (CD) même sens : le sens de A vers B est le même que le sens de C vers D. Le vecteur qui a une longueur nulle est appelé vecteur nul et on le note 0 .
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une des méthodes pour montrer que trois points sont alignés consiste à démontrer qu'ils appartiennent à la même droite. On considère un repère \left( O;I;J \right). Montrer que les points A\left(1;2\right), B\left(-1 ; 6\right) et C\left(2;0\right) sont alignés.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.