Soit F un sous-espace vectoriel de E . Le sous-espace des vecteurs orthogonaux à F est appelé orthogonal de F et se note F⊥ . (résultat à connaître) Soit →x∈E x → ∈ E . Montrer que : →x=−→0E⟺∀→y∈E,⟨→x,→y⟩=0 x → = 0 E → ⟺ ∀ y → ∈ E , ⟨ x → , y → ⟩ = 0 En déduire E⊥ .
On peut aussi donner un sens à deux parties orthogonales : A et B sont orthogonales si ⟨x,y⟩=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 pour tout x∈A x ∈ A et tout y∈B y ∈ B . Pour X⊂E X ⊂ E , X⊥ est alors la plus grande partie de E orthogonale à X .
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Exemple : On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH : Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale de l'autre. ABC est un triangle équilatéral. E est le point d'intersection de ses médianes.
Dans l'espace, deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit ; deux perpendiculaires étant deux droites orthogonales et sécantes.
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
Points clés
Alternativement, deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Pour déterminer le point d'intersection entre deux droites, on trouve les valeurs des paramètres 𝑡 et 𝑡 qui produisent le même ensemble de coordonnées dans les équations paramétriques de chaque droite.
Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales.
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Nécessairement, cela signifie qu'elles sont sécantes et donc coplanaires. DEFINITION: deux droites de l'espace sont orthogonales quand en un point de l'espace, leurs parallèles sont perpendiculaires.
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Il est utile de remarquer que si deux plans sont confondus, alors leurs vecteurs normaux (non nuls) sont colinéaires ; l'équation de l'un des plans et alors un multiple de l'autre.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
ORTHOGONAL, -ALE, -AUX, adj. GÉOM. Qui forme un angle droit, qui tombe à angle droit.
Géométrie dans l'espace - Points clés
Deux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.
On appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'application qui à tout x de E , qui se décompose uniquement en x=y+z x = y + z avec y dans F et z dans F⊥ , associe s(x)=y−z. s ( x ) = y − z .
La propriété de orthocentre d'un triangle.
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de est égal à l'orthogonal de cette famille : si F = V e c t ( { u 1 , u 2 , . . . , u p } ) alors F ⊥ = { u 1 , u 2 , . . . , u p } ⊥ .
Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux droites coplanaires qui leur sont parallèles et qui sont perpendiculaires entre elles.
Alors u ⋅v =xx′+yy′. Exemple : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (20,5) et v (3−4). Alors u ⋅v =2×3+0,5×(−4)=6−2=4.
Quand deux droites se coupent en formant un angle droit, elles sont perpendiculaires.
Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes qui se coupent à angle droit puisque la pente de l'une est l'opposée de l'inverse de la pente de l'autre. Deux droites perpendiculaires ont des pentes opposées et inverses.
Si on projette un point (appelons le A) sur une droite ou un plan, imaginons que cette droite ou ce plan est le sol et qu'on fait "tomber" le point A dessus. Alors bien évidemment il va tomber verticalement. L'endroit sur lequel il va atterrir est exactement là que se trouve son projeté orthogonal H.