Vecteur opposé et différence de deux vecteurs AB+⃗ BA=⃗ AA=⃗0 . Définition : A et B désignent deux points du plan. B A est appelé vecteur opposé du vecteur ⃗ AB et noté −⃗ AB . AB et−⃗ AB ont même direction, même norme mais sont de sens contraires.
Les segments [AB] et [CD] sont deux diamètres d'un même cercle de centre O. Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? On peut dire que ACBD est un parallélogramme car ses diagonales [AB] et [CD] ont le même milieu O. De plus, ACBD est un rectangle car ses diagonales ont même longueur.
Définition: Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. par la translation de vecteur de AB . Propriété : Si AB = CD alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées du produit d'un vecteur par un scalaire, on multiplie chacune des coordonnées par le scalaire.
L' opposé du vecteur AB est le vecteur −AB =BA de même direction et de même valeur que AB , mais de sens contraire. L'opposé du vecteur u (1 ;−2) est le vecteur −u (−1 ;2).
D C F E A D B C Page 5 5 sur 19 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).
On détermine si cette égalité est vérifiée. Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y =0.
Égalité de vecteurs
Graphiquement, deux vecteurs sont égaux s'ils ont le même sens, la même direction et la même norme.
Si, pour n'importe quel nombre choisi, deux expressions littérales donnent le même résultat, alors on dit que ces expressions littérales sont égales. Exemples : Pour n'importe quel nombre choisi pour x on a x+7=2x+10−x−3 donc les expressions x+7 et 2x+10−x−3 sont égales. +21 et B=7(x2 +2)+7 sont égales.
Lorsque deux vecteurs ont même direction (ce qui correspond à "parallèles") on dit que les vecteurs sont colinéaires. Ainsi, deux vecteurs et sont colinéaires s'il existe un nombre k tel que c'est à dire qu'un vecteur est un multiple de l'autre. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Comment démontrer une affirmation ? Pour démontrer une affirmation, nous devons utiliser un raisonnement mathématique. Des exemples sont le raisonnement par récurrence, le raisonnement déductif, le raisonnement par contre-exemple, le raisonnement par disjonction de cas et le raisonnement par l'absurde.
L'ensemble des points M(x,y) tels que ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) est une droite vecteur directeur . Cette propriété permet de : caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) ; déterminer un vecteur directeur de cette droite.
Dans un quadrilatère ABCD, si les vecteurs AB et DC sont égaux, alors ABCD est un parallélogramme.
La direction d'un vecteur est déterminée par une demi-droite, appelée support du vecteur dont le sens est celui allant de l'origine de la demi-droite vers l'infini. Si le phénom`ene qu'ils modélisent est bidimensionnel, les vecteurs vivent dans R2, s'il est tridimensionnel, ils vivent dans R3.
Les caractéristiques d'un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n'a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0. Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
Vecteur opposé et différence de deux vecteurs
AB+⃗ BA=⃗ AA=⃗0 . Définition : A et B désignent deux points du plan. B A est appelé vecteur opposé du vecteur ⃗ AB et noté −⃗ AB . AB et−⃗ AB ont même direction, même norme mais sont de sens contraires.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Exemple : L'inverse de 10 est 0,1 car 10x0,1 = 1! 2) L'opposé: L'opposé d'un nombre est ce même nombre avec le signe opposé! Exemple : L'opposé de 10 est -10!