On appelle symétrique de x un élément x de E, s'il existe, tel que : x ∗ x = x ∗ x = e . Si x existe, x est dit symétrisable. Cela équivaut à dire que x est symétrisable à droite et à gauche et que ses symétriques à droite et à gauche sont égaux.
L'élément symétrique d'un élément x d'un ensemble E pour une opération ⊕ définie dans E est l'élément x ' de E tel que x ⊕ x ' = n où n ∈ E est l'élément neutre pour l'opération ⊕.
On dit que e est élément neutre pour ˚ lorsque, pour tout x de E, x ˚ e = e ˚ x = x (les deux égalités doivent être vérifiées lorsque ˚ n'est pas commutative). Proposition : S'il y a dans E un élément neutre pour ˚, alors il n'y en a qu'un seul.
Si une opération * est définie dans un ensemble E, alors n est un élément neutre de l'opération * si et seulement si, quels que soient les éléments x de E, on a : x * n = x.
a) Définition :
Soit un ensemble E muni d'une loi de composition interne additive On dit qu'un sous ensemble A de E est stable pour l'opposé si et seulement si pour tout élément x appartenant à A, -x appartient à A.
Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre 0 de + est absorbant pour ×. En effet, comme l'élément nul 0 est l'élément neutre de l'addition : 0 = 0 + 0. Ainsi, pour tout élément a de l'anneau A, a×0 = a×(0 + 0).
2 – la loi ∗ est associative si pour tous les éléments x, y, z de E, on a ((x∗y)∗z = x∗(y∗z)). Exemples - • L'addition et la multiplication dans Z sont commutatives et associatives. Ce n'est pas le cas de la soustraction (montrez le).
( a T b ) T c = a T ( b T c ) . Autrement dit, quelle que soit la manière dont on regroupe les termes, le résultat est le même. Par exemple, l'addition et la multiplication des nombres réels sont des opérations associatives : quelque soient les réels a,b,c a , b , c , on a toujours a+(b+c)=(a+b)+c.
L'associativité est une propriété d'opération qui permet de modifier l'ordre des calculs en regroupant des termes entre parenthèses sans modifier le résultat de l'opération. La commutativité est la propriété d'une opération qui permet de modifier l'ordre des termes sans changer le résultat.
La soustraction et la division ne sont pas des opérations associatives.
En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ».
Remarque : Traditionnellement, et sans précision ou contexte particulier, une LCI est notée * comme ci-dessus ou F ("truc"). On peut également adopter un formalisme additif (la LCI est alors notée +) ou multiplicatif (× ou .). Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne *.
Définition 1.2 On dit que G est abélien (ou commutatif) si on a de plus xy = yx pour tous x, y de G. Dans ce cas on notera souvent + la loi, 0 le neutre, et −x le symétrique de x qu'on appelle alors l'opposé de x. Remarques : Si (G, +) est un groupe abélien, on peut noter x − y pour x + (−y) = (−x) + y.
si E ≠ F et G = F, la loi * : E × F → F est appelée loi de composition externe à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs ; si E ≠ F et G = E, la loi * : E × F → E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.
Les propriétés de l'addition : commutativité, associativité et élément neutre. Cette leçon porte sur les trois principales propriétés de l'addition. L'addition est commutative : On peut changer l'ordre des termes.
Les quatre opérations arithmétiques usuelles : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division qui sont en principe les seules opérations autorisées aux jeux de chiffres comme au Compte est bon. Les calculatrices qui ne peuvent effectuer que ces quatre opérations élémentaires et aucune autre.
La propriété
Propriété 1 : Les diagonales d'un carré sont de même longueur. Propriété 2 : La somme des mesures des angles dans un triangle fait 180°. Propriété 3 : Toute suite numérique définie sur E peut être vu comme une application de N (ensemble des entiers naturels) dans E.
Dire que la multiplication est commutative, cela veut dire que pour n'importe quels nombres a et b, on a toujours a × b = b × a a×b=b×a a×b=b×aa, ×, b, equals, b, ×, a.
- La division n'est pas commutative. - La division de deux nombres égaux est égale à 1. - Le dividende est égal au produit du quotient et du diviseur, auquel on ajoute le reste. Cette propriété est très utile pour vérifier le résultat d'une division.
« Terme » désigne chacun des éléments intervenant dans un rapport, une addition, une soustraction, une suite, une proportion ou une fraction. Par exemple : Admettons la suite 1, 2, 3, 4. Les 4 chiffres sont des termes. Dans le rapport 4/5, 4 et 5 sont aussi des termes.
Les propriétés de la multiplication : commutativité, associativité et élément neutre. Cette leçon porte sur les trois principales propriétés de la multiplication. La multiplication est commutative : On peut changer l'ordre des facteurs.
un élément régulier est un élément par lequel on peut simplifier. un espace régulier est un espace topologique possédant une forte propriété de séparation. un langage régulier est un type de langage formel et une expression régulière est un moyen de le décrire.
La Constitution de 1958 définit la loi comme le texte que vote le Parlement. Elle en délimite le domaine de compétences et la place sous le contrôle du Conseil constitutionnel.
En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique.