Un endomorphisme est bijectif lorsqu'il est à la fois injectif et surjectif. Cette définition de la bijectivité comme la conjonction de l'injectivité et de la surjectivité n'est pas spécifique aux endomorphismes. Il s'agit d'une définition générale s'appliquant à des fonctions quelconques f:E⟶F f : E ⟶ F .
Remarque. Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Une application linéaire f ∈ L (E,F) est bijective si et seulement si M(f)ei,fj est inversible. De plus, M(f−1)fj ,ei = (M(f)ei,fj )−1 .
si il existe un unique endomorphisme g tel que fog=id alors f est inversible. en dimension finie pas de pb mais en dimension infinie pas moyen d'y arriver : On a déjà f surjective donc il reste à montrer sa surjectivité [son injectivité].
Un endomorphisme est bijectif lorsqu'il est à la fois injectif et surjectif. Cette définition de la bijectivité comme la conjonction de l'injectivité et de la surjectivité n'est pas spécifique aux endomorphismes. Il s'agit d'une définition générale s'appliquant à des fonctions quelconques f:E⟶F f : E ⟶ F .
Une droite est stable par un endomorphisme u si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de u. En conséquence, tout sous-espace engendré par des vecteurs propres de u est stable par u. Si u est un endomorphisme diagonalisable de E alors tout sous-espace de E possède un supplémentaire stable par u.
Soient A et B deux ensembles finis. (i) Il existe une fonction injective F : A → B si et seulement |A|≤|B|. (ii) Il existe une fonction surjective F : A → B si et seulement si |A|≥|B|. (iii) Il existe une fonction bijective F : A → B si et seulement si |A| = |B|.
Écrivant tout x∈E x ∈ E comme somme de xi x i , où xi∈Eλi x i ∈ E λ i , on prouve que f(g(x))=g(f(x)) f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) et donc que g g et f f commutent.
Une fonction f:E→F f : E → F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, ou encore si pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) possède une unique solution. Si E et F sont des ensembles finis, E et F doivent alors avoir le même nombre d'éléments.
On considère Mn(R) muni du produit scalaire 〈A,B〉 = Tr(tAB). On vérifie que ϕ : M ∈ Mn(R) → tM ∈ Mn(R) est un endomorphisme symétrique.
— L'endomorphisme u est cyclique si et seulement si E est un espace cyclique. — Si F est cyclique, alors πu|F = χu|F . Proposition 2.3 (Cayley–Hamilton). Soit u ∈ L(E).
On dit que est diagonalisable s'il existe une base de telle que la matrice de par rapport à cette base soit diagonale.
Les endomorphismes f et fa,b sont égaux sur une base donc égaux sur l'espace ℂ entier. fa,b(fa,b(z))=(a2+|b|2)z+2Re(a)bˉz. L'endomorphisme fa,b est donc une symétrie si, et seulement si, {a2+|b|2=12Re(a)b=0.
On dit que u est nilpotent s'il existe un entier n≥1 n ≥ 1 tel que un=0 u n = 0 . Le plus petit entier n qui convient est appelé indice de nilpotence de u . L'indice de nilpotence de u est aussi son indice en tant qu'endomorphisme de E, c'est-à-dire le plus petit entier n tel que ker(u)=ker(un+1).
Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u . Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments de , tels que det ( f − λ I d E ) = 0 . Pour cela il est naturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det ( A − λ I 2 ) qui est égal à det ( f − λ I d E ) .
selon les recommandations des projets correspondants. En mathématiques, une paire de matrices commutantes est une paire {A, B} de matrices carrées à coefficients dans un corps qui commutent, c'est-à-dire que AB = BA. En règle générale, la solution n'est pas élémentaire.
Pour trouver le commutant d'une matrice diagonale (ou d'une matrice “simple” au sens où elle comporte beaucoup de zéros), on effectue généralement les calculs coefficient par coefficient (ce qui amène à résoudre un système de n2 équations à n2 inconnues.
Pour montrer que f n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément y de F qui n'a aucun antécédent. Soit u : R −→ R+ l'application telle que u(x)=0si x < −1 et u(x) = x + 1 si x ⩾ −1. Les réels −1 et −2 sont distincts et ont la même image : u(−1) = u(−2) = 0. Donc u n'est pas injective.
On va démontrer directement que f f est bijective en prouvant que, pour tout w∈C∖{i} w ∈ C ∖ { i } , l'équation f(z)=w f ( z ) = w admet une unique solution z∈C∖{−3} z ∈ C ∖ { − 3 } . Pour cela, on remarque que iz−iz+3=w⟺iz−i=wz+3w⟺(i−w)z=3w+i.
Une application f de X dans Y est dite surjective si pour tout élément y de Y, il existe au moins un élément x de X tel que y = f(x), ce qui s'écrit formellement : .
Propriété Le spectre d'un endomorphisme φ est l'ensemble des réels λ tels que φ − λ ·id n'est pas bijectif. Démonstration Pour tout λ ∈ R, pour tout vecteur u , on a l'équivalence φ ( u ) = λ · u ⇔ ( φ − λ ·id)( u ) = 0 donc λ est une valeur propre de φ si et seulement si 0 est une valeur propre de ( φ − λ ·id).
On dit qu'un sous-espace vectoriel de est stable par s'il vérifie la propriété : « l'image par de tout élément de appartient à » ( f ( H ) ⊂ H ).
Prendre un vecteur \(u\) quelconque de \(E\), l'écrire dans la base \(B\), calculer son image \(f(u)\), puis traduire l'égalité \(f(u)=0\).