Comment montrer qu'un endomorphisme est Bijectif ?

Interrogée par: Josette Poirier  |  Dernière mise à jour: 1. Dezember 2024
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Un endomorphisme est bijectif lorsqu'il est à la fois injectif et surjectif. Cette définition de la bijectivité comme la conjonction de l'injectivité et de la surjectivité n'est pas spécifique aux endomorphismes. Il s'agit d'une définition générale s'appliquant à des fonctions quelconques f:E⟶F f : E ⟶ F .

Comment montrer que F est un endomorphisme bijectif ?

Remarque. Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).

Comment montrer qu'il s'agit d'un endomorphisme ?

Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.

Comment montrer qu'une application linéaire est bijective ?

Une application linéaire f ∈ L (E,F) est bijective si et seulement si M(f)ei,fj est inversible. De plus, M(f−1)fj ,ei = (M(f)ei,fj )−1 .

Comment montrer qu'un endomorphisme est inversible ?

si il existe un unique endomorphisme g tel que fog=id alors f est inversible. en dimension finie pas de pb mais en dimension infinie pas moyen d'y arriver : On a déjà f surjective donc il reste à montrer sa surjectivité [son injectivité].

Montrer qu'une application est bijective (ECG1)

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Qu'est-ce qu'un endomorphisme bijectif ?

Un endomorphisme est bijectif lorsqu'il est à la fois injectif et surjectif. Cette définition de la bijectivité comme la conjonction de l'injectivité et de la surjectivité n'est pas spécifique aux endomorphismes. Il s'agit d'une définition générale s'appliquant à des fonctions quelconques f:E⟶F f : E ⟶ F .

Comment montrer qu'un endomorphisme est stable ?

Une droite est stable par un endomorphisme u si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de u. En conséquence, tout sous-espace engendré par des vecteurs propres de u est stable par u. Si u est un endomorphisme diagonalisable de E alors tout sous-espace de E possède un supplémentaire stable par u.

Comment savoir si la fonction est bijective ?

Soient A et B deux ensembles finis. (i) Il existe une fonction injective F : A → B si et seulement |A|≤|B|. (ii) Il existe une fonction surjective F : A → B si et seulement si |A|≥|B|. (iii) Il existe une fonction bijective F : A → B si et seulement si |A| = |B|.

Comment montrer que deux Endomorphismes commutent ?

Écrivant tout x∈E x ∈ E comme somme de xi x i , où xi∈Eλi x i ∈ E λ i , on prouve que f(g(x))=g(f(x)) f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) et donc que g g et f f commutent.

Quand Est-ce que une fonction est bijective ?

Une fonction f:E→F f : E → F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, ou encore si pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) possède une unique solution. Si E et F sont des ensembles finis, E et F doivent alors avoir le même nombre d'éléments.

Comment montrer qu'un endomorphisme est symétrique ?

On considère Mn(R) muni du produit scalaire 〈A,B〉 = Tr(tAB). On vérifie que ϕ : M ∈ Mn(R) → tM ∈ Mn(R) est un endomorphisme symétrique.

Comment montrer qu'un endomorphisme est cyclique ?

— L'endomorphisme u est cyclique si et seulement si E est un espace cyclique. — Si F est cyclique, alors πu|F = χu|F . Proposition 2.3 (Cayley–Hamilton). Soit u ∈ L(E).

Quand Est-ce qu'un endomorphisme est diagonalisable ?

On dit que est diagonalisable s'il existe une base de telle que la matrice de par rapport à cette base soit diagonale.

Comment déterminer un endomorphisme ?

Les endomorphismes f et fa,b sont égaux sur une base donc égaux sur l'espace ℂ entier. fa,b(fa,b(z))=(a2+|b|2)z+2Re(a)bˉz. L'endomorphisme fa,b est donc une symétrie si, et seulement si, {a2+|b|2=12Re(a)b=0.

Comment montrer qu'un endomorphisme est Nilpotent ?

On dit que u est nilpotent s'il existe un entier n≥1 n ≥ 1 tel que un=0 u n = 0 . Le plus petit entier n qui convient est appelé indice de nilpotence de u . L'indice de nilpotence de u est aussi son indice en tant qu'endomorphisme de E, c'est-à-dire le plus petit entier n tel que ker(u)=ker(un+1).

Comment montrer qu'un endomorphisme est diagonalisable ?

Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u . Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Comment trouver les valeurs propres d'un endomorphisme ?

Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments de , tels que det ( f − λ I d E ) = 0 . Pour cela il est naturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det ( A − λ I 2 ) qui est égal à det ( f − λ I d E ) .

Quand Dit-on que 2 matrices commutent ?

selon les recommandations des projets correspondants. En mathématiques, une paire de matrices commutantes est une paire {A, B} de matrices carrées à coefficients dans un corps qui commutent, c'est-à-dire que AB = BA. En règle générale, la solution n'est pas élémentaire.

Comment déterminer les matrices qui commutent ?

Pour trouver le commutant d'une matrice diagonale (ou d'une matrice “simple” au sens où elle comporte beaucoup de zéros), on effectue généralement les calculs coefficient par coefficient (ce qui amène à résoudre un système de n2 équations à n2 inconnues.

Comment montrer que f n'est pas surjective ?

Pour montrer que f n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément y de F qui n'a aucun antécédent. Soit u : R −→ R+ l'application telle que u(x)=0si x < −1 et u(x) = x + 1 si x ⩾ −1. Les réels −1 et −2 sont distincts et ont la même image : u(−1) = u(−2) = 0. Donc u n'est pas injective.

Comment montrer qu'un nombre complexe est bijective ?

On va démontrer directement que f f est bijective en prouvant que, pour tout w∈C∖{i} w ∈ C ∖ { i } , l'équation f(z)=w f ( z ) = w admet une unique solution z∈C∖{−3} z ∈ C ∖ { − 3 } . Pour cela, on remarque que iz−iz+3=w⟺iz−i=wz+3w⟺(i−w)z=3w+i.

Quand f est surjective ?

Une application f de X dans Y est dite surjective si pour tout élément y de Y, il existe au moins un élément x de X tel que y = f(x), ce qui s'écrit formellement : .

Comment déterminer le spectre d'un endomorphisme ?

Propriété Le spectre d'un endomorphisme φ est l'ensemble des réels λ tels que φ − λ ·id n'est pas bijectif. Démonstration Pour tout λ ∈ R, pour tout vecteur u , on a l'équivalence φ ( u ) = λ · u ⇔ ( φ − λ ·id)( u ) = 0 donc λ est une valeur propre de φ si et seulement si 0 est une valeur propre de ( φ − λ ·id).

Comment montrer qu'un espace vectoriel est stable ?

On dit qu'un sous-espace vectoriel de est stable par s'il vérifie la propriété : « l'image par de tout élément de appartient à » ( f ( H ) ⊂ H ).

Comment déterminer le noyau d'un endomorphisme ?

Prendre un vecteur \(u\) quelconque de \(E\), l'écrire dans la base \(B\), calculer son image \(f(u)\), puis traduire l'égalité \(f(u)=0\).

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