f est donc la projection sur Im(f) dans la direction Ker(f). P est une projection orthogonale ssi 2P−I est une isométrie et si P2=P. dans un espace euclidien : p endomorphisme est un projecteur orthogonal ssi p²=p.
Un endomorphisme f de E est dit orthogonal si, et seulement si, il conserve le produit scalaire, c'est-`a-dire si, et seulement si ∀x,y ∈ E, (f (x)|f (y)) = (x |y). Soit E un espace vectoriel euclidien.
Si D est une droite de l'espace, on appelle projection orthogonale sur D l'application qui à tout point M du plan associe le point M′ tel que {M′∈D(MM′)⊥D { M ′ ∈ D ( M M ′ ) ⊥ D M′ est le point d'intersection de D et du plan normal à D passant par M .
Définition. Un endomorphisme f de E est dit symétrique si : ∀(x, y) ∈ E2, 〈f(x),y〉 = 〈x, f(y)〉.
Réciproquement, soit p un endomorphisme de matrice M dans une base orthonormale, vérifiant M=tM=M2. M2=M donc p2=p. dont p est une projection. La matrice de la symétrie s associée est S=2M−I.
Si s et s′ commutent alors s∘s′(n)=s′∘s(n)=-s′(n) donc s′(n)∈H⊥. Puisque ∥s′(n)∥=∥n∥ on a s′(n)=n ou s′(n)=-n c'est-à-dire n∈H′ ou n∈H′⊥.
Théorème : Un élément p de L(E) est un projecteur si et seulement si p∘p=p. p ∘ p = p . Dans ce cas, Im(p) et ker(p) sont supplémentaires, et p est la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p).
Un endomorphisme d'un espace de dimension n est nilpotent si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à Xn. En effet, le polynôme caractéristique est unitaire, de degré n et a les mêmes facteurs premiers que le polynôme minimal.
L'endomorphisme induit est la double restriction de l'endomorphisme initial avec à la fois un nouvel ensemble de départ et un nouvel ensemble d'arrivée. La condition de stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour que cette double restriction soit une application.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Graphiquement, leurs directions sont orthogonales. Ainsi, deux droites sont orthogonales si et seulement si le produit de leurs vecteurs directeurs est nul. Soit un vecteur −−→CD.
Théorème et définition : Soit E un espace vectoriel euclidien ou hermitien, et u un endomorphisme de E . Il existe un unique endomorphisme u∗ de E , appelé adjoint de u , tel que ∀x,y∈E, ⟨u(x),y⟩=⟨x,u∗(y)⟩. ∀ x , y ∈ E , ⟨ u ( x ) , y ⟩ = ⟨ x , u ∗ ( y ) ⟩ .
Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A−1 = tA. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
Or, une matrice orthogonale qui est aussi triangulaire supérieure est diagonale (pourquoi?), et ses coefficients diagonaux sont égaux à ±1 ± 1 . Comme ici les coefficients diagonaux sont strictement positifs, il sont égaux à 1 1 , et Q−12Q1=In Q 2 − 1 Q 1 = I n , soit Q2=Q1 Q 2 = Q 1 , et par suite R2=R1 R 2 = R 1 .
Aide simple. Prendre un vecteur \(u\) quelconque de \(E\), l'écrire dans la base \(B\), calculer son image \(f(u)\), puis traduire l'égalité \(f(u)=0\). Pour l'image de \(f\) consulter la méthodologie.
Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres pour u . Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Une matrice nilpotente n'est pas inversible. En effet, soit M une matrice nilpotente, d'indice p. On a alors Mp = 0 et Mp−1 = 0. Supposons M inversible alors Mp−1 = M−1.Mp = 0 c'est absurde.
L'indice d'une matrice nilpotente est égal à la dimension de sa plus grande matrice de Jordan.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
La surjection canonique ou projection canonique est la surjection associée à une relation d'équivalence sur un ensemble. La décomposition canonique d'une application est son écriture comme composée d'une surjection et d'une injection.
Définition : Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires d'un espace vectoriel E . Alors on appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G l'application qui à tout x de E qui se décompose uniquement en x=y+z x = y + z avec y dans F et z dans G associe s(x)=y−z.
On note A'=p(A) ; B'=p(B) C'=p(C) et \frac{IA'}{IA}= \frac{IB'}{IB}= \frac{IC'}{IC}=K . Le réel k est appelé le rapport de projection orthogonal de (D) sur (D').