Soit un ensemble E muni d'une loi de composition interne additive On dit qu'un sous ensemble A de E est stable pour l'opposé si et seulement si pour tout élément x appartenant à A, -x appartient à A.
Un sous-espace F est stable par f si, et seulement si, ∀ x ∈ F, f(x) ∈ F, c'est-`a-dire f∗(F) ⊂ F. On doit comprendre l'endomorphisme f comme une trans- formation de l'espace E : si F est stable, alors la transforma- tion de l'espace op`ere `a l'intérieur de F.
Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne, notée +, et F un partie non vide de E ; F est dite stable pour la loi interne si pour tout couple d'éléments de F la somme appartient à F.
Lorsque tu veux prouver qu'un ensemble E est stable par multiplication, tu dois prouver que le produit de deux éléments quelconques de E est encore un élément de E, c'est -à-dire que : « n'importe quoi * n'importe quoi est élément de E».
Une droite est stable par un endomorphisme u si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de u. En conséquence, tout sous-espace engendré par des vecteurs propres de u est stable par u. Si u est un endomorphisme diagonalisable de E alors tout sous-espace de E possède un supplémentaire stable par u.
On dit qu'une propriété P est stable par combinaison linéaire, si ∀(x, y) ∈ E2, x et y vérifient P implique ∀λ, µ scalaires, λx + µy vérifie P. Voici une liste (non exhaustive !) de propriétés classiques stables par combinai- sons linéaires.
En mathématiques, un ensemble est stable ou invariant par une application ou par diverses opérations si les images de ses éléments appartiennent toutes à ce même ensemble. En analyse réelle, la notion d'intervalle stable par une fonction permet de définir par récurrence une suite dans cet intervalle.
On dit qu'un sous-espace vectoriel de est stable par s'il vérifie la propriété : « l'image par de tout élément de appartient à » ( f ( H ) ⊂ H ).
Si l'on veut trouver l'ensemble de définition, autrement dit l'ensemble des x, il suffit de lire graphiquement l'ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f.
Définition de la stabilité pour une loi interne
Soit un ensemble muni d'une loi de composition interne, notée +, et un partie non vide de ; est dite stable pour la loi interne si pour tout couple d'éléments de la somme appartient à .
Comment savoir si une molécule est stable? Pour qu'une molécule soit stable il est nécessaire que chacun de ses atomes soit stable. Un atome est stable dans une molécule si les liaisons covalentes qu'il forme lui permettent de saturer sa couche de valence.
On appelle endomorphisme induit par u sur F l'élément uF de End(F) défini pour tout x de F par uF (x) = u(x). Lorsque l'on parvient `a trouver deux sous-espaces stables par u, F et G tels que E = F ⊕ G, alors il existe une base de E par rapport `a laquelle la matrice de E est diagonale par blocs.
Définition : Soit K un ensemble muni de deux lois + et ˆ. On dit que (K, +, ˆ) est un corps (au sens corps commutatif) lorsque : ‚ (K, +) est un groupe commutatif (de neutre noté 0K), ‚ (Kzt0Ku, ˆ) est un groupe commutatif (de neutre noté 1K), ‚ ˆ est distributive sur +.
Définition : Continuité d'une fonction en un point
Soit 𝑎 ∈ ℝ . On dit qu'une fonction à valeur réelle 𝑓 ( 𝑥 ) est continue en 𝑥 = 𝑎 si l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑎 ) .
La fonction constante, par exemple f(x)=5. La fonction constante associe toujours le même nombre à x, quelque soit la valeur de x que l'on choisit. Elle est toujours de la forme où c est un nombre. La fonction linéaire, par exemple f(x)=2x.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f . De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens.
L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des éléments de son ensemble de départ qui ont une image par cette fonction.
Un nombre réel désigne un nombre dont la représentation décimale contient un nombre fini ou infini de chiffres après la virgule. Garde en tête qu'il ne s'agit pas forcément d'un nombre décimal, qui n'a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule. Les nombres réels peuvent être positifs ou négatifs.
Il suffit donc de montrer que {x1 + x2 ; x1 ∈ E1,x2 ∈ E2} est un espace vectoriel, ce qui est clair. On définit de même par récurrence (et associativité de la loi additive sur E) la somme de n espaces vectoriels. On note alors E = E1 ⊕ E2.
On considère Mn(R) muni du produit scalaire 〈A,B〉 = Tr(tAB). On vérifie que ϕ : M ∈ Mn(R) → tM ∈ Mn(R) est un endomorphisme symétrique.
Écrivant tout x∈E x ∈ E comme somme de xi x i , où xi∈Eλi x i ∈ E λ i , on prouve que f(g(x))=g(f(x)) f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) et donc que g g et f f commutent.
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon". Propriétés : 1) Les fonctions x ! xn (n ∈N ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R .
Lorsque la courbe est au-dessus de l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est positif, quand elle est en dessous de l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est négatif et à l'intersection avec l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est nul.
Si de même nous voulons montrer que la suite (un) est minorée, nous devons montrer qu'il existe m ∈ R tel que pour tout entier n, un ≥ N. Pour cela, il suffit que f([N,∞[) ⊂ [N,∞[, et l'on peut alors montrer par récurrence sur n que un ≥ N. La condition f([N,∞[) ⊂ [N,∞[ signifie que l'intervalle [N,∞[ est stable par f.