Un intervalle I est dit stable par f lorsque f(I) ⊂ I. Définition. Un réel x est appelé un point fixe de f lorsque f(x) = x.
Réponse : quand le signe de f(x) − x est constant sur J!! Supposons que f est continue sur un intervalle J stable par f et contenant u0. Si pour tout x ∈ J , f(x) − x ⩾ 0 alors la suite (un)n∈N est croissante. Si pour tout x ∈ J , f(x) − x ⩽ 0 alors la suite (un)n∈N est décroissante.
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Si de même nous voulons montrer que la suite (un) est minorée, nous devons montrer qu'il existe m ∈ R tel que pour tout entier n, un ≥ N. Pour cela, il suffit que f([N,∞[) ⊂ [N,∞[, et l'on peut alors montrer par récurrence sur n que un ≥ N. La condition f([N,∞[) ⊂ [N,∞[ signifie que l'intervalle [N,∞[ est stable par f.
En mathématiques, pour une application f d'un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.
Fiches méthodes. Si on a une fonction et qu'on cherche les coordonnées d'un point de sa courbe représentative : on choisit une valeur de x et on calcule y = f(x) en remplaçant x dans l'expression f(x) donnée. On obtient ainsi les coordonnées ( x ; y = f(x) ) d'un point de la représentation graphique de la fonction f.
Comment savoir si une suite est explicite ou récurrente? Une suite numérique peut se définir de deux façon :- de manière explicite : chaque terme de la suite peut être calculé à partir de son rang. On dit que u(n) est fonction de n. - de manière récurrente : chaque terme s'obtient grâce au terme précédent.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque u n u_n un s'exprime directement en fonction de n. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
Si deux suites (un) et (vn) sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir d'un certain rang.
Si on considère une suite définie à partir d'un certain rang n 0 ( u n ) n ≥ n 0 , on note alors la série ∑ n ≥ n 0 u n ou ∑ u n s'il n'y a pas d'ambiguïté. Un cas très fréquent est celui où la suite est définie pour n ≥ 1 . C'est le cas des séries de Riemann ou séries de terme général 1 n s ( n ≥ 1 , s ∈ R ) .
Une fonction est bien définie si elle donne le même résultat lorsque la représentation de l'entrée est modifiée sans changer la valeur de l'entrée . Par exemple, if prend des nombres réels en entrée, et if n'est pas égal à then. n'est pas bien défini (et donc pas une fonction).
Si la suite (Un) est à termes strictement positifs on peut calculer le quotient : Si pour tout entier n, Un> 0 et 1 alors la suite (Un) est croissante. Si pour tout entier n, Un> 0 et 1 alors la suite (Un) est décroissante.
1.3 Suite définie par une formule explicite
Une suite est définie par une formule explicite lorsque un s'exprime directement en fonction de n (un = f (n)). Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice. Exemple Soit (un)n∈ la suite définie pour tout entier naturel n par un = 1+3n.
la suite (un) telle que un = n pour tout n; • la suite (un) telle que un = 2n pour tout n. lLa suite (un) telle que un = αn pour tout n, o`u α est un réel donné. Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n.
Formule explicite pour une séquence arithmétique : Dans une formule explicite pour une séquence arithmétique, chaque terme de la séquence est défini à l'aide de la formule an = a 1 + ( n − 1 ) d , où est l'indice entier de la séquence, est le premier terme de la séquence, et est la différence commune entre chaque terme consécutif de...
Explicit Formula: an= a + (n - 1) d
a = the first term of the arithmetic sequence. d = the common difference (the difference between every term and its previous term.
Il s'écrit généralement sous la forme tn = t 1 + d ( n − 1 ) , où est le premier terme de la séquence, est la différence commune entre les termes adjacents et est le nombre représentant la position du terme par rapport au début. de la séquence.
Propriété Si (v_n) est une suite géométrique de raison non nulle q alors, pour tous entiers naturels n et p, v_n = v_p\times q^{ n-p}.
La fonction f qui associe à tout nombre x le nombre mx + p est une fonction affine. Son expression algébrique s'écrit : f(x) = mx + p. m est le coefficient directeur de la fonction et on ajoute p au résultat. Par une fonction affine, chaque image a un seul antécédent.
On appelle fonction affine toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x + b où a et b sont des constantes. Ce nombre a est appelé coefficient directeur de la fonction affine f. Ce nombre b est appelé ordonnée à l'origine de la fonction affine f.
En mathématiques, un ensemble est stable ou invariant par une application ou par diverses opérations si les images de ses éléments appartiennent toutes à ce même ensemble. En analyse réelle, la notion d'intervalle stable par une fonction permet de définir par récurrence une suite dans cet intervalle.
Définition d'un point fixe
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle stable \(I\). On appelle « point fixe » tout \(x \in I\) tel que \(f(x)=x\). Graphiquement, il s'agit d'une intersection de la droite d'équation \(y=f(x)\) et de la droite d'équation \(y=x\).
Une fonction de Liapounov est une fonction qui permet d'estimer la stabilité d'un point d'équilibre (ou, plus généralement, d'un mouvement, c'est-à-dire d'une solution maximale) d'une équation différentielle.