Condition nécessaire et suffisante d'existence et d'unicité d'une solution d'un système linéaire , avec et. Soit A ∈ M n ( K ) et B ∈ M n , 1 ( K ) . Le système A X = B admet une solution unique pour tout B ∈ M n , 1 ( K ) si et seulement si la matrice est inversible.
Pour que E soit réel, il faut que ce "quelque chose de réel") soit nul ! Exemple : pour que F=57+ i (w +4) soit réel, il faut que w+4 = 0 donc que w = -4.
Si Δ = 0 alors l' équation admet une solution double x = −b/2a. Si Δ >0 alors l' équation admet deux solutions distinctes x' et x' telles que: x' =( −b + √Δ ) / 2a et x'' =(
❖ Lorsqu'on demande de montrer qu'une équation du type f(x)=k admet un nombre donné n de solution (nÃ2), on peut utiliser le corollaire du TVI en découpant l'intervalle en n intervalles sur chacun desquels, on appliquera le théorème.
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon".
Théorème de la bijection (TB) :
Si f est continue et strictement monotone, f(I) est un intervalle et )I(f I:f → est une fonction bijective. α= )x(f0 . Traduction : α= ∈ ∃ )x(f/I x!
Définition : Discriminant d'une équation du second degré Si Δ est strictement positif, alors il y a deux solutions réelles à l'équation du second degré. Si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle (répétée). Et si Δ est strictement négatif, alors il n'y a pas de solutions réelles.
Afin de déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f\left(x\right)=k sur I, on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour chaque intervalle de I sur lequel la fonction est strictement monotone.
Si Δ < 0 , alors l'équation f(x)=0 n'admet aucune solution réelle. f ne peut pas s'écrire sous forme factorisée. Si Δ = 0 , alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution x0=-b2a . Si Δ > 0 , alors l'équation f(x)=0 a deux solutions x1=-b-√Δ2a et x2=-b+√Δ2a.
L'équation générale (complexe) du quatrième degré a la forme suivante: az4+bz3+cz2+dz+e=0 où a,b,c,d,e ∈ ℂ et a ≠ 0. Remarquons qu'on peut tout de suite supposer que a=1 (en divisant les deux membres par a ≠ 0). Remarquons aussi qu'en remplaçant l'inconnue z par z-b/4 le terme de degré 3 disparaît.
1-1-89+89=0 donc −1∉S2 S={−1} Donc −i est une solution imaginaire pur de l'équation.
La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : échange de deux lignes. multiplication d'une ligne par un nombre non nul.
Pour un système d'équations à deux inconnues, la méthode de Cramer stipule que si Δ est non nul, alors ? = Δ Δ , ? = Δ Δ est la solution unique du système..
Si le discriminant est strictement négatif, il n'a pas de racine carrée réelle et donc l'équation n'admet pas de solution réelle.
Pour que f(x)=0, il faut forcément que le numérateur soit nul. Donc il faut résoudre l'équation suivante: C'est une équation du 3e degré, mais avec une racine évidente en x=0, donc tu peux en tirer une équation du 2e degré, qu'il faut résoudre.
Le discriminant réduit vaut : Δ′=b′2−ac. Δ ′ = b ′ 2 − a c . Les racines sont alors données, dans le cas où le discriminant est positif, par la formule : x1=−b′−√Δ′a, x2=−b′+√Δ′a.
Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle I
On sait que si f'(x) est supérieure ou égale 0, alors la la fonction f est croissante sur I. A l'inverse, si f'(x) est inférieure ou égale à 0, alors f est décroissante sur I.
Si le discriminant est égal à 0, l'équation a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 a une racine réelle double. Si le discriminant est négatif, l'équation a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 n'a pas de racine réelle.
Une fonction admet une réciproque si à tout élément de l'ensemble de départ correspond un unique élément de l'ensemble d'arrivée, et si tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'un unique élément de l'ensemble de départ.
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y . Elle se note f−1 . On obtient le graphique d'une réciproque en faisant subir à notre fonction une réflexion par rapport à l'axe y=x .
L'application f est injective lorsqu'elle donne des valeurs différentes à des points différents — si x = x′ : f (x) = f (x′).