Une
On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire : Si G = K, on parle de forme bilinéaire.
Une application 〈·,·〉 : E×E → R, (x, y) ↦→ 〈x, y〉 est appelée un produit scalaire si elle poss`ede les propriétés suivantes : • elle est bilinéaire, • elle est symétrique : ∀x, y ∈ E, 〈x, y〉 = 〈y, x〉, elle est positive : ∀x ∈ E,〈x, x〉 ≥ 0, • elle est “définie” : 〈x, x〉 = 0 ⇒ x = 0. Remarque 2.
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = φ ( x , x ) .
La signature d'une forme quadratique (ou d'une forme bilinéaire symétrique ) est le couple d'entiers où est le nombre de coefficients positifs dans une décomposition de en carrés et le nombre de coefficients négatifs.
Elle est dégénérée si et seulement s'il existe x = 0 tel que, pour tout y ∈ E, ϕ(x, y) = 0. Définition 14 – On appelle noyau de la forme quadratique q, et on note Ker q, l'ensemble {y ∈ E ; ϕ(x, y)=0}.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, qui peut être positif, négatif ou nul.
Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux. Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls et représentés par des bipoints OA et OB est le nombre défini par OA ⋅ OB ⋅ cos(θ).
Soit C une partie non bornée d'un espace vectoriel normé E et f:C→R f : C → R . On dit que f est coercive si lim∥x∥→+∞, x∈Cf(x)=+∞.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
On factorise alors sous la forme suivante Q(x)=a(x1+Ca)(x2+Ba)+(D−BCa). Q ( x ) = a ( x 1 + C a ) ( x 2 + B a ) + ( D − B C a ) . Puis on utilise que uv=14((u+v)2−(u−v)2) u v = 1 4 ( ( u + v ) 2 − ( u − v ) 2 ) pour obtenir finalement Q(x)=a4(x1+x2+B+Ca)2−a4(x1−x2+C−Ba)2+(D−BCa).
Comme est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de dans la base canonique, c'est une forme quadratique et sa forme polaire est définie pour tout x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) et y = ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) de par f ( x , y ) = x 1 y 1 − 2 x 3 y 3 + 1 2 ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) − 3 2 ...
Le noyau d'une forme quadratique Q (on dit aussi radical) est par définition l'orthogonal de l'espace V tout entier. Cet espace est le noyau de l'application linéaire de V dans l'espace dual V* qui associe à x la forme linéaire y ↦ B(x, y).
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, B une base de E et q une forme quadratique sur E . Soit φ la forme polaire de q , c'est-à-dire l'unique forme bilinéaire symétrique sur E telle que, pour tout x de E, q(x)=φ(x,x) q ( x ) = φ ( x , x ) .
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles.
La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²). * Pour calculer la norme d'un vecteur du plan, laissez la case z vide. Exemples : Calculons la norme du vecteur du plan de coordonnées (5;12).
Deux vecteurs sont perpendiculaires (ou orthogonaux) lorsqu'ils se coupent à angle droit. Ainsi, l'angle qui est formé par l'intersection de deux vecteurs orthogonaux est de 90∘. 90 ∘ . Pour déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires, on peut effectuer le produit scalaire de ceux-ci.
Le produit scalaire (multiplication de deux vecteurs)
Selon cette formule, on voit que le résultat du produit scalaire sera un scalaire (un nombre réel).
Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. Définition : Soit un vecteur u ! et deux points A et B tels que u ! = AB " !
Parce que le produit de deux vecteurs est un scalaire, qui ne se retrouve plus dans la même structure algébrique (on passe d'un espace vectoriel à un anneau).
On dit que la forme est non-dégénérée si son rang est égal `a la dimension de E. Pour une forme ϕ symétrique son noyau est défini par Ker ϕ = {x ∈ E : ∀y ∈ E,ϕ(x, y)=0}. Le noyau de ϕ est le noyau de (l'application linéaire définie par) la ma- trice de ϕ. On a: rang (ϕ) + dim (Ker ϕ) = dim (E).
Définition 1.6 (Matrice définie positive) Une matrice symétrique A dont les éléments sont des nombres réels, est définie positive si pour tout vecteur x ∈ Rn non nul on a xT Ax > 0.
Définitions : Une forme quadratique est : *définie positive si : ∀X≠0, q(X) > 0, *définie négative si : ∀X≠0, q(X) < 0, * indéfinie si elle est tantôt positive tantôt négative. Une forme quadratique est : *semi-définie positive (ou définie non-négative) si : ∀X q(X) ≥ 0, et q s'annule pour un vecteur non nul.