Définition : Soit une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle , avec ω ∈ R ou . On dit que l'intégrale ∫ a ω f ( t ) d t est absolument convergente si l'intégrale ∫ a ω | f ( t ) | d t est convergente.
On dit que l'intégrale ∫baf ∫ a b f est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) c∈]a,b[ c ∈ ] a , b [ , la fonction x↦∫xcf(t)dt x ↦ ∫ c x f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers b et la fonction x↦∫cxf(t)dt x ↦ ∫ x c f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers a .
On considère donc une série ∑ u n à termes réels. On a, pour tout : u n + ≤ | u n | et u n − ≤ | u n | . Ainsi, si la série ∑ | u n | est convergente, il en est de même des séries ∑ u n + et ∑ u n − , et donc de la série ∑ u n .
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫I|f| ∫ I | f | converge. Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge. Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction est illimité, alors l'intégrale de sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ou .
Si I est un intervalle borné, toute fonction continue par morceaux et bornée sur I est intégrable sur I. En particulier, si f admet une limite finie aux bornes de I, alors f est intégrable sur I. g(t). Alors f est intégrable au voisinage de t0 si, et seulement si, g est inté- grable au voisinage de t0.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
On obtient alors : I ( x ) = ∫ 0 arctan ( x ) u d u = [ u 2 2 ] 0 arctan ( x ) = 1 2 ( arctan . Quand tend vers , on a donc : lim x → + ∞ I ( x ) = π 2 8 . D'où : ∫ 0 + ∞ arctan ( t ) 1 + t 2 d t = π 2 8 .
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], |f(x) − ϕ(x)| ≤ 1, et donc |f(x)|≤|ϕ(x)| + 1, ce qui prouve que f est bornée.
Une série de terme général (an) converge absolument si la série de terme général (|an|) converge.
un = 0. Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 −vk) = vn+1 −v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
points que σ). Évidemment, I[a,b](f) ⩽ I[a,b](f). f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).
Définition : Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu'elle diverge. La nature d'une intégrale généralisée est le fait qu'elle converge ou qu'elle diverge.
On dira qu'une suite réelle ou complexe (un) est bornée si il existe M telle que ∀n ∈ N, |un| < M. uk. Les propriétés des suites se transposent pour les séries. On peut donc définir la somme de deux séries, la multiplication par un scalaire ...
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si la suite u est décroissante et minorée, alors elle converge. Si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
Pour déterminer l'intégrale indéfinie des fonctions impliquant différentes puissances de 𝑥 , y compris les fonctions polynômes, inverses et radicales, on utilise les propriétés suivantes : La propriété de linéarité de l'intégration : ( 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) + 𝑏 𝑔 ( 𝑥 ) ) 𝑥 = 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 + 𝑏 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥 , d d d pour 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ .
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
La dérivabilité se démontre usuellement de deux façons : dans l'étude locale (c'est-à-dire en se plaçant dans un voisinage du point étudié), en utilisant directement la définition de l'existence du nombre dérivé à l'aide de limites.
Soit f : [a, b] → R une fonction. (1) Soit x0 ∈]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a.
Si la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine. L'intégrale entre a et -a est nulle car l'aire comprise entre -a et 0 aura un signe moins alors que celle entre 0 et a aura la même valeur mais avec un signe +.