On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si | u p − l | et | u n − l | sont petits il en est de même pour | u p − u n | .
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
On dit qu'une suite (un) de réels ou de complexes est une suite de Cauchy lorsque : ∀ε>0, ∃N∈N, ∀p,q≥N, |up−uq|<ε.
Une suite (un)n∈N sera dite de Cauchy si pour tout ϵ > 0 il existe N ∈ N tel que |un − um| < ϵ pour tout m, n ≥ N. Proposition 3.2. Toute suite convergente est de Cauchy.
On traduit ce théorème en disant que est un corps complet ce qui signifie que toute suite de Cauchy d'éléments de est convergente dans ; est le complété de c'est à dire le plus petit corps complet contenant .
Une variable aléatoire X suit la loi de Cauchy si elle est absolument continue et admet pour densité : f(x)=1π×11+x2. f ( x ) = 1 π × 1 1 + x 2 .
Définition : Soit I un intervalle de R , (fn) une suite de fonctions définies sur I , et f définie sur I . On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si pour tout x appartenant à I, la suite (fn(x)) ( f n ( x ) ) converge vers f(x) . Ex : I=[0,1] I = [ 0 , 1 ] et fn(x)=xn f n ( x ) = x n .
Si y = 0 la fonction f est de classe C1 et le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existe d'une unique solution locale. y(t) − 2 √ y0 = t − t0. −y(t) − 2 √ −y0 = t − t0. Donc l'unique solution du problème de Cauchy est donnée par : y(t) = − 1 4 (t − t0 − 2 √ −y0)2.
Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. Pour z 0 = C ∗ , considérons la série à termes complexes ∑ a n z 0 n . Le terme général est u n = a n z 0 n .
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
la suite (un) telle que un = n pour tout n; • la suite (un) telle que un = 2n pour tout n. lLa suite (un) telle que un = αn pour tout n, o`u α est un réel donné. Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Il aurait résolu l'un des problèmes mathématiques les plus difficiles du monde : l'hypothèse de Reimann, conçue en 1859. Elle consiste à prédire l'intégralité des nombres premiers (comme 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc.). Mais cette fonction très compliquée n'a jamais été démontrée par personne depuis !
Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans que jamais la courbe de la fonction ne passe à l'intérieur. Plus la constante de Lipschitz est petite, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.
Théorème : Pour tout x0∈I x 0 ∈ I et tout y0∈K y 0 ∈ K , il existe une unique solution à l'équation différentielle y′+a(x)y=b(x) y ′ + a ( x ) y = b ( x ) vérifiant y(x0)=y0 y ( x 0 ) = y 0 .
(Xn) converge en loi vers X si, notant Fn la fonction de répartition de Xn et F celle de X , en tout réel x où F est continue, on a : Fn(x)→F(x).
— Convergence simple : La suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle. En effet pour chaque x > 0 fixé, fn(x) = 0 pour tout n > 1/x, donc limfn(x)n→+∞ = 0, et on a aussi fn(0) = 0 pour tout n, donc fn(0) → 0 quand n → +∞.
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
On dit que deux variables aléatoires X et Y suivent la même loi si PX=PY P X = P Y , et on note alors X∼Y X ∼ Y .
Dans des conditions paraxiales, la valeur d'un angle en radian est proche de celle de son sinus (ou de sa tangente). La loi de Snell devient alors: n i = n' r avec (i est l'angle d'incidence, r est l'angle de réfraction). Cette approximation conduit au calcul de la formule de vergence.
Si 𝑋 suit une loi normale de moyenne 𝜇 et d'écart-type 𝜎 , alors 𝐸 ( 𝑍 ) = 𝐸 𝑋 − 𝜇 𝜎 . Par linéarité de l'espérance, le membre droit est donc égal à 1 𝜎 𝐸 ( 𝑋 ) − 𝜇 𝜎 , qui est égal à zéro car 𝐸 ( 𝑋 ) = 𝜇 . Donc, comme indiqué plus tôt, 𝐸 ( 𝑍 ) = 0 .