Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes (se croisent en un même point) appelé orthocentre du triangle (point H ci-dessus. Si un angle est obtus, l'orthocentre est à l'extérieur du triangle. » Archimède.
Caractérisation vectorielle de l'orthocentre
On en déduit que (AM), parallèle à (OA'), est perpendiculaire à (BC) ; c'est la hauteur (AhA) du triangle. On montre, de même, que (BM) est aussi la deuxième hauteur (BhB) et on conclut que le point M, intersection de deux hauteurs, est l'orthocentre H du triangle ABC.
Dans un triangle, si trois lignes sont tracées en partant de chaque angle et en coupant le côté opposé à angle droit, elles se rencontrent en un point d'intersection, qui est appelé orthocentre, en géométrie.
passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] donc (IJ) est parallèle à (BC). rapport à un point alors elles sont parallèles.
L'orthocentre est le point d'intersection des 3 hauteurs d'un triangle, il peut être à l'extérieur du triangle. Pour trouver ses coordonnées, trouve l'équation de deux hauteurs et leur point d'intersection.
Une vidéo qui rappelle aux élèves comment construire l'orthocentre d'un triangle (ayant un angle obtus) : il suffit de construire 2 des 3 hauteurs du triangle ! [*Définition*] Dans un triangle, on appelle hauteur la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Orthocentre selon le type de triangle
Triangle rectangle: L'orthocentre d'un triangle rectangle coïncide avec le sommet qui correspond à l'angle droit. Dans la figure ci-dessous, par exemple, les hauteurs sont BF et les segments triangulaires AB et BC eux-mêmes, l'orthocentre étant le sommet B.
Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. O appartient à [AB] et OA = OB donc O est le milieu de [AB].
La bissectrice d'un angle est la droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un angle peut également être définie comme l'ensemble des points à égale distance des deux côtés de l'angle.
En pratique, il suffit de tracer deux médiatrices pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle. On trace les médiatrices du triangle (il suffit d'en tracer deux). Leur point d'intersection O donne le centre du cercle circonscrit.
Les 3 médiatrices d'un triangle sont les médiatrices de chacun de ses côtés. Ces 3 médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Les médianes
La médiane d'un triangle relie un sommet au milieu du côté opposé. Dans un triangle, il y a trois médianes. Leur point d'intersection correspond au centre de gravité du triangle.
Méthode avec une équerre
Déposer un côté de l'angle droit de l'équerre sur la base du triangle. Aligner l'autre côté de l'angle droit de l'équerre avec le sommet du triangle. Tracer le segment qui part du sommet et qui rejoint perpendiculairement la base du triangle. Ce segment est la hauteur du triangle.
En géométrie, la droite d'Euler d'un triangle est la droite passant par l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité. Dans un triangle quelconque, l'ensemble de ces intersections permet de représenter une droite.
Une droite est dite remarquable dans un triangle lorsqu'elle possède une ou plusieurs propriétés quel que soit le triangle. Il existe 4 types de droites remarquables dans le triangle : la médiane, la médiatrice, la hauteur et la bissectrice.
Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle.
Le point O est le sommet de l'angle . Les demi-droites en sont les côtés.
4º. - Les bissectrices : Comme on l'a déjà vu dans la fiche sur les angles, une bissectrice est une droite qui coupe un angle en 2 angles égaux. Dans un triangle, c'est donc la droite qui coupe un sommet en deux angles égaux.
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Premier théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. Deuxième théorème des milieux : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Si deux droites parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. une symétrie axiale conserve l'orthogonalité. une symétrie centrale conserve l'orthogonalité.
Un cercle est circonscrit `a un triangle si les trois sommets du triangle appartiennent `a ce cercle. Le triangle est inscrit dans le cercle. Propri et e 4 (Point de concours des médiatrices d'un triangle). Le point de concours des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.
On note H le point d'intersection entre la hauteur et la droite [BC]. On dit que H est le pied de la hauteur.
Trace une droite perpendiculaire au deuxième côté [BC] et qui passe par le sommet opposé A. Trace une droite perpendiculaire au troisième côté [CA] et qui passe par le sommet opposé B. Les droites (h1), (h2) et (h3) sont les 3 hauteurs du triangle.