Définitions : On dit qu'une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)= f(a). On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout x_0∈I lim(x→x0)f(x) = f(x0). Une fonction continue est une fonction que l'on peut dessiner « sans lever le crayon ».
On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. - Si f '(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I. - Si f '(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I. Exemple : Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x2 − 4x .
Nous savons qu'une fonction est continue sur un intervalle si la courbe représentative de la fonction n'a ni trou ni saut sur l'intervalle. En d'autres termes, cela signifie que nous pouvons tracer la courbe représentative d'une fonction continue sans lever le crayon du papier.
Caractère de ce qui est continu ; permanence, persistance : Le succès dépend de la continuité de l'effort. 2. Caractère d'un frein dont la mise en action est simultanée sur l'ensemble d'un train.
f . Dire qu'une fonction f est continue en a signifie donc que lorsque x se rapproche de a , alors f(x) se rapproche de f(a) .
f est continue en 2 si et seulement si \lim\limits_{x \to 2} f\left(x\right)=f\left(2\right).
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
Rappelons que l'équation de continuité pour les fluides incompressibles est 𝐴 𝑣 = 𝐴 𝑣 , où 𝐴 est l'aire de la section transversale du premier tuyau, 𝑣 est la vitesse du fluide dans le premier tuyau, 𝐴 est l'aire de la section transversale du deuxième tuyau, et 𝑣 est la vitesse du fluide dans le deuxième ...
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Une suite bornée est une fonction bornée définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. L'ensemble de toutes les suites bornées forme l'espace des suites bornées, noté ℓ∞. Toute fonction continue de [0, 1] dans ℝ est bornée.
Dérivabilité et continuité
La dérivabilité d'une fonction ne se cherche donc qu'en des points où la fonction est déjà continue. La réciproque de cette affirmation est fausse : il existe des fonctions continues en a mais non dérivables en ce point.
Le domaine de continuité de f, noté domc f, est l'ensemble des réels en lesquels f est continue. Les fonctions usuelles k (avec k∈R), x, n√x (avec n∈N0), |x|, 1/x, sinx, cosx, sont continues en tout réel a de leur domaine.
Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
L'équation des lignes de courant est : vdx − udy = 0, soit, en remplaçant les composantes de vitesse par les dérivées de la fonction de courant : − ∂ψ ∂xdx − ∂ψ ∂ydy = −dψ = 0.
Si une suite de fonctions ( ) converge simplement sur vers une fonction , si la suite ( ) converge uniformément sur tout fermé borné de et si les sont continues sur , alors est continue sur .
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
On peut également étudier la dérivabilité d'une fonction lorsqu'elle est définie sur un intervalle. Si une fonction est dérivable sur un ensemble ouvert ( 𝑎 ; 𝑏 ) , cela signifie que la fonction est dérivable pour tout 𝑥 ∈ ( 𝑎 ; 𝑏 ) .
Soit la fonction f définie par f(x) = si x ≠ 0, et f(0) = 1. Donc la fonction f est continue en 0.
En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal.