Donc si est une primitive de , on écrira : ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + c .
En pratique, déterminer une primitive d'une fonction, c'est chercher une fonction dont la dérivée est la fonction donnée. Pour une fonction puissance, ou plus généralement une fonction polynôme, cette détermination est facile : il suffit d'augmenter d'une unité l'exposant.
Ainsi, toutes les primitives de f (x) = 2x sont de la forme F (x) = x2 + C (C est une constante).
Condition suffisante d'existence d'une primitive
Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors f admet une primitive F définie pour tout x ∈ [ a , b ] x \in \left[a,b\right] x∈[a,b] par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫axf(t)dt.
Il y a des façons plus directes de calculer une primitive, en utilisant ce qu'on appelle une intégrale. En particulier, une primitive d'une fonction 𝑓 ( 𝑥 ) équivaut à l'intégrale indéfinie de 𝑓 ( 𝑥 ) . Ainsi, si 𝐹 ′ ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) , alors 𝐹 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 + , d C où C est aussi appelée constante d'intégration.
F'(x) = G'(x) + m = f(x). Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I. Réciproquement, soit G une primitive de f sur I. Alors G' = f = F', donc G' – F' = 0, soit encore (G – F)' = 0.
Une primitive de u′eu sur I est eu.
Sa dérivée est égale à F′(x)=v′(x)f(v(x))−u′(x)f(u(x)), F ′ ( x ) = v ′ ( x ) f ( v ( x ) ) − u ′ ( x ) f ( u ( x ) ) , formule qui se démontre par application du théorème fondamental du calcul intégral et par composition.
deux primitives d'une même fonction, sur un intervalle, ne diffèrent que d'une constante. Soit G fonction définie sur I par G(x) = F(x)+k avec k réel. * Par addition, G est dérivable sur I. De plus : G'(x) = F'(x) = f (x) pour tout x de I donc G est une primitive de f sur I.
Toutes les fonctions n'ont pas de primitive. Et une primitive, si elle existe, n'est jamais unique : elle n'est définie qu'à une constante près. Le théorème suivant garantit l'existence d'une primitive lorsque la fonction est continue.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
et F son unique primitive prenant la valeur 0 en 0. Alors, la fonction G : x → F (x)+ F (−x) est dérivable sur de dérivée x → f (x)− f (−x) = 0. G est donc constante et comme G (0) = 0, alors :∀x ∈ G (x) = F (x)+ F (−x) = 0. F est donc impaire.
Une primitive de la division u' / u^n
On va donc calculer la dérivée de (u(x)^(-n+1))/(-n+1). La dérivée de ça c'est u'(x) pour commencer, c'est la partie facile, u'(x) que multiplie la dérivée de cette chose-là.
La première définition rigoureuse des intégrales et primitives des fonctions continues est due à Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).
Les primitives sont utilisées quand on a la dérivée d'une fonction et qu'on cherche la fonction elle-même.
L'intervalle de tous les nombres entre a et b, y compris a et b, est noté comme [a,b] et si a et b sont exclus, il est noté comme ]a,b[. On peut également remplacer la virgule par un point-virgule dans les pays où les virgules sont utilisées pour écrire des nombres décimaux.
1- En mathématique, la notation y = f(x) signifie que y est une grandeur qui dépend d'une autre grandeur, notée x. Dans la représentation graphique, y représente l'ordonnée et x l'abscisse. La dérivée première de la fonction est notée y'(x) et sa dérivée seconde y"(x).
pour tout x dans l'intervalle [a, b]. f(t)dt. Lorsqu'on trouve une primitive d'une fonction f dans une table, ou qu'elle se déduit des tables à partir de quelques calculs algébriques, il n'y a rien d'autre à faire : L'intégrale est donnée par la Formule de Newton-Leibniz. (e2x + sin(x))dx.
La dérivée du produit uv étant donnée par u'v + v'u, uv est une primitive de u'v + v'u sur l'intervalle [a ; b].
Une primitive d'une fonction paire continue sur E n'est pas forcément impaire, sauf si E est un intervalle et si de plus la primitive considérée est celle qui s'annule en 0. La composée de deux fonctions impaires est impaire ; la composée g ∘ f d'une fonction paire g avec une fonction impaire f est une fonction paire.
Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. On peut déterminer la parité d'une fonction par le calcul.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
L'intégrale définie de la fonction 𝑓 ( 𝑥 ) entre 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 peut être interprété comme étant l'aire algébrique sous la courbe représentative de 𝑓 ( 𝑥 ) entre 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 ; on donne une représentation graphique d'une intégrale sur la figure ci-dessous.
Il permet de saisir facilement des intégrales (∫), limites, sommes (∑). Vous pouvez alors écrire comme sur le papier vos formules : il suffit de mettre les expressions en surbrillance au lieu de mettre des parenthèses.