La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Comme la fonction cube est strictement croissante sur , si et sont deux réels positif, négatifs ou nuls, alors équivaut à (l'inégalité ne change pas de sens).
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole.
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
La fonction cube est définie sur l'ensemble des réels par f(x)=x3. f ( x ) = x 3 . C'est donc une fonction de puissance entière. Comme cette puissance est impaire, le signe de x et de son image par f sont les mêmes.
Définition : La fonction qui à tout réel positif x associe son cube x3 est appelée fonction cube. Exemples : L'image de 2 par la fonction cube est égale à 2³ = 2×2×2 = 8.
La fonction qui à tout nombre réel x non nul associe son inverse x1 est appelée fonction inverse. Elle est définie sur − ] ∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; + ∞ [ -]\infty\ ;\,0[\,\cup\,]0\ ;\,+\infty[ −]∞ ;0[∪]0 ;+∞[ par f ( x ) = 1 x f(x)=\dfrac{1}{x} f(x)=x1.
L'unique antécédent de par la fonction cube est noté √ . Attention ! Ce nombre est du même signe que . Exemples : comme 3 27, on peut affirmer que 27 admet 3 comme antécédent par .
Pour déterminer les variations de la fonction cube, on considère deux nombres réels a et b tels que 0 a < b ; alors a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a – b est strictement négatif puisque si a < b alors a – b < 0, et le signe de a2 + ab + b2 est strictement positif puisque 0 a < b.
La fonction racine carrée est la fonction qui à tout réel positif x x x associe le nombre réel positif noté x \sqrt x x dont le carré est x x x. On peut noter cette fonction f ( x ) = x f(x)=\sqrt x f(x)=x avec x ≥ 0 x\geq0 x≥0.
Dans un repère orthogonal d'origine O, la représentation graphique de la fonction cube est appelée "cubique". Elle admet un centre de symétrie : l'origine O. En effet, pour tout x∈ , f ( − x ) = ( − x ) 3 = − ( x 3 ) = − f ( x ) .
on trace la courbe de la fonction cube ; on trace la droite horizontale d'équation y = k y=k y=k ; on note l'abscisse du point d'intersection ; on note l'intervalle de tous les réels inférieurs à cette abscisse.
Règle. Placer le centre de l'hyperbole et déterminer son orientation. Tracer les asymptotes en prolongeant les diagonales du rectangle. Tracer l'hyperbole en passant par les sommets et en s'approchant des asymptotes, sans jamais y toucher.
La fonction identité f(x)=x est définie sur R et son ensemble image est R. Son graphe est constitué de l'ensemble des couples (x,y) où y=x. Comme ces points sont à égale distance des deux axes, ils appartiennent à la bissectrice des axes.
Une courbe exponentielle est une courbe dont la vitesse de croissance augmente sans arrêt : elle ne cesse d'accélèrer !
Parité La fonction cube est impaire. La représentation graphique de la fonction cube admet l'origine du repère pour centre de symétrie.
Dans un repère (O; −→ i ; −→ j ), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet O. Cette parabole admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction paire. La fonction définie sur R∗ =] − ∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par x ↦− → 1 x est appelée fonction inverse.
Si f est une fonction définie sur un ensemble D , à valeurs dans R ou C , on dit que x est une racine de f , ou un zéro de f , si f(x)=0 f ( x ) = 0 . Le mot racine est particulièrement employé pour les polynômes.
Pour tout réel positif x, la racine carrée de x est le nombre positif, noté x , tel que (x )2=x. La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel positif x, associe le réel x .
Par exemple, la racine cubique de 27 est égale à 3, car 3 × 3 × 3 = 27 ; et la racine cubique de -8 est -2 car (-2) × (-2) × (-2) = -8.
f est une fonction paire lorsque Df est centré en 0 et, pour tout réel x de Df, f(−x)=f(x). f est une fonction impaire lorsque Df est centré en 0 et, pour tout réel x de Df, f(−x)=−f(x). f est une fonction périodique de période T lorsque, pour tout réel x de Df, x+T∈Df et f(x+T)=f(x).
Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ. En effet, la fonction cube étant croissante, l'ordre est conservé.
Exemples : L'image de 3 par la fonction carré est 9.
La racine cubique du nombre a est le nombre dont le cube est a. Le symbole de la racine cubique est 3 cube root of, end cube root . Si b 3 = b × b × b = a b^3=b×b×b=a b3=b×b×b=ab, cubed, equals, b, ×, b, ×, b, equals, a, alors la racine cubique de a est b.
La fonction inverse est impaire puisque quel que soit x non nul, f(−x) est égal à −f(x). − f ( x ) . Par exemple, si x est égal à 2, f(−2) est égal à 1−2 et −f(2) est égal à −12.