⋄ un ensemble qui ne contient qu'un seul élément s'appelle un singleton. Il faut bien distinguer le nombre 3 du singleton {3}.
Un ensemble `a un seul élément x est noté {x} et on l'appelle le singleton {x}. On a donc x ∈ {x} (et pas x = {x}). Un ensemble `a deux éléments est appelé une paire.
Voici comment : 0 est identifié à l'ensemble vide.
On dénote par ∅ l'ensemble vide, celui composé d'aucun élément. Le symbole ∈ indique qu'un élément appartient à un ensemble. À l'inverse, le symbole ∉ identifie un élément qui n'appartient pas à un ensemble.
un ensemble non vide est habité, et peut se formuler : un ensemble qui n'est pas ∅ possède au moins un élément. Affirmer son équivalence à un ensemble habité est non vide nécessite le tiers exclu et n'est donc pas valide en logique intuitionniste.
Tout ensemble muni de sa topologie grossière est connexe. Il en résulte que l'ensemble vide est connexe, ainsi que tout espace réduit à un point.
une partie O est un ouvert si pour tout x dans O etc... Si O est vide, c'est donc vrai aussi, donc ∅ est un ouvert. On peut le comprendre comme un passage obligé pour être logiquement cohérent avec le calcul propositionnel en logique classique.
Exemple 1 L'ensemble des parties d'un ensemble X contient toujours l'ensemble vide ∅ et l'ensemble X lui-même. L'ensemble des parties de l'ensemble vide est l'ensemble {∅ } formé d'un seul élement ∅.
- L'ensemble vide Ø est un ensemble indépendant cependant il génère {0} espace vectoriel de dimension 0.
L'ensemble ℕ vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.
B : il est non vide car si on prend n=1, (3+4)/(1+1)=7/2 est bien un réel, cela fait au moins un élément de l'ensemble. On peut aussi dire : quelle que soit la valeur de n, l'expression est définie et est réelle, donc..
Est-ce que 0 appartient à R ? 0 est un nombre réel, donc il appartient à R.
Le symbole de l'infini, en mathématiques et au-delà des mathématiques, est « ∞ », inventé par le mathématicien John Wallis au XVII e siècle, signe dont l'origine est controversée et dont la forme peut évoquer un « 8 » horizontal (mais ce n'est pas en référence au chiffre 8 que ce signe fut choisi) ; cette forme a été ...
L'Univers, au sens cosmologique, est l'ensemble de tout ce qui existe, décrit à partir d'observations scientifiques et régi par des lois physiques.
Le symbole « ∈ » se lit : « est un élément de » ou « appartient à ». Le symbole « ∉ » se lit : « n'est pas un élément de » ou « n'appartient pas à ».
Au même moment. Synonyme : en chœur, d'un commun accord, en commun, de concert, à la fois, de front, en même temps, simultanément, à l'unisson. – Littéraire : concomitamment, de conserve.
Un ensemble est caractérisé par ses éléments. Deux ensembles A et B sont donc égaux s'ils ont les mêmes éléments. On note alors A = B. est le même que l'ensemble {T ruc, Bidule, M achin}.
En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble, parfois appelé ensemble puissance, est l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné (y compris cet ensemble lui-même et l'ensemble vide).
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.
Donc tout singleton est ouvert, et la topo- logie T est discrète. (c) L'argument de (b) ne marche pas pour X dénombrable. Par exemple, dans N muni de la topologie du complément fini, tout singleton est fermé, cependant cette topologie n'est pas discrète.
Dans un espace localement connexe par arcs, un ouvert est connexe (si et) seulement s'il est connexe par arcs. , tout point a une base de voisinages connexes par arcs et a fortiori, a au moins un voisinage connexe par arcs.
Définitions. Un espace topologique (E,T) est dit connexe si les seuls sous-ensembles de E qui sont à à la fois ouverts et fermés sont l'ensemble vide ∅ et E lui-même.
Deux ensembles sont disjoints si leur intersection est vide, c'est-à-dire s'ils n'ont pas d'éléments en commun.