Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle dénombre les succès dans une suite d'expériences de
En probabilité, la loi binomiale permet de décrire le nombre de succès dans une série d'expériences identiques et indépendantes, où il existe deux résultats possibles : succès ou échec. Elle est définie par deux paramètres : le nombre total d'expériences (n) et la probabilité de succès dans chaque expérience (p).
On pose : On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'issue est S et la valeur 0 si l'issue est E. Par définition, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. L'espérance mathématique de X est E(X) = p et sa variance V(X) = pq.
Notation La loi binomiale de paramètres n et p se note \mathcal{B}(n~; p). Remarque Pour une loi binomiale de n épreuves, on peut formaliser l'univers par \{0~; 1\}^{n}. Propriété Soient k un entier naturel inférieur ou égal à n et \text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences. Soit Ω un ensemble muni d'une probabilité P. Une variable aléatoire X est une application définie sur Ω dans ℝ. X permet de transporter la loi P en la loi P' définie sur Ω′=X(Ω) : on a P′(xj)=P(X−1(xj))=P(X=xj).
La loi binomiale permet de modéliser la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes qui comportent deux issues. Il est important de ne pas faire l'impasse sur ce sujet, d'autant plus qu'il est abordé à la fin du programme.
Pour calculer la probabilité d'un événement, vous pouvez simplement utiliser la formule générale de probabilité : P = n/N. Vous devez donc connaître le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues possibles.
On dit qu'une variable aléatoire X:(Ω,P)→R X : ( Ω , P ) → R suit une loi binomiale de paramètres n≥1 n ≥ 1 et p∈[0,1], p ∈ [ 0 , 1 ] , ce que l'on note X↪B(n,p) X ↪ B ( n , p ) si : X prend ses valeurs dans {0,…,n} .
La loi binomiale négative, en particulier dans sa paramétrisation alternative décrite plus haut, est une alternative intéressante à la loi de Poisson. Elle est particulièrement utile pour des données discrètes, à valeurs dans un ensemble positif non-borné, dont la variance empirique excède la moyenne empirique.
Si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, on accepte l'hypothèse selon laquelle le caractère A apparait avec une fréquence p dans le groupe. Si n'appartient pas à l'intervalle, on rejette l'hypothèse. Il faut noter que l'une ou l'autre de ces 2 conclusions possibles se font au risque ou seuil 5%.
Exemple : On réalise une épreuve aléatoire dont la probabilité d'un succès est p. p . Si X est la variable aléatoire qui vaut 1 s'il y a succès, 0 sinon, alors X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. p .
Le principe de Bernoulli stipule que plus la vitesse d'un fluide est grande, plus sa pression est petite. Une façon d'observer ce principe est de placer une feuille de papier sous sa bouche. Au repos, la feuille tombe. Lorsqu'on souffle droit devant, la feuille remonte.
Définition : Un schéma de Bernoulli est la répétition de n expériences identiques et indépendantes à deux issues que l'on peut nommer "succès" et "échec". On répète cette expérience 20 fois, la probabilité du succès est égale à 0,5. On dit ici que n = 20 et p = 0,5 sont les paramètres du schéma de Bernoulli.
Quelle est la variance de la loi binomiale ? La variance de la loi binomiale est donnée par l'expression n p ( 1 − p ) . Ici, (n\) est le nombre d'expériences et est la probabilité de réussite. Si la variance d'une variable aléatoire est petite, alors les valeurs de la variable sont souvent proches de l'espérance.
Nous remarquons aussi qu'une probabilité s'exprime par un nombre qui ne peut pas être négatif. Nous admettrons que cela implique que la fonction densité de probabilité ne peut pas prendre des valeurs négatives.
Une variable aléatoire discrète qui suit une loi de Poisson de paramètre lambda est définie par la formule suivante : Donc, à chaque fois que X va prendre la valeur k alors sa probabilité sera égale à : 👉 Une loi de probabilité est discrète quand l'expérience aléatoire ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs.
Remarque : Une loi de Poisson est donnée par sa loi de probabilité : ∀k,P(X=k)>0. ∑k≥0P(X=k)=∑k≥0e−λλkk!
De façon générale, la loi géométrique apparaît lorsque l'on répète une même expérience, de façon indépendante, et que l'on attend qu'un événement se réalise le nombre de fois où un événement se réalise. Précisément, on considère le numéro de l'expérience à laquelle survient le premier succès.
Deux évènements A et B sont dits indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B). Soit A et B deux évènements indépendants. car A et B sont indépendants ce qui est équivalent par définition à .
Deux événements A et B sont dits indépendants (par rapport à P ) si P(A∩B)=P(A)P(B), P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) , ce qui peut encore s'écrire, si P(A)≠0 P ( A ) ≠ 0 , P(B|A)=P(B) P ( B | A ) = P ( B ) .
Deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ . Si 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 0 . On rappelle que la probabilité de l'ensemble vide est égale à zéro. D'après la définition ci-dessus, si 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements incompatibles, alors 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 0 .
Jacques Bernoulli Bâle, 27 décembre 1654 - Bâle, 16 août 1705.
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
La relation de Bernoulli s'écrit de la manière suivante. Les points A et B ont la même coordonnée verticale (zA = zB), cette relation peut donc se réécrire : On a vA > vB donc vA2 > vB2. On en déduit la relation d'ordre entre les pressions exercées par le fluide aux points A et B.
Comment le principe de Bernoulli est-il lié à l'équation de Bernoulli ? et on fait l'hypothèse que le fluide ne change pas d'altitude, les termes en ρ g h sont donc égaux et on peut les simplifier de chaque coté de l'équation.