Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Les vecteurs directeurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Le produit scalaire donne ( 2 , 1 , − 2 ) ⋅ ( 5 , 4 , 7 ) = 2 × 5 + 1 × 4 + ( − 2 ) × 7 = 0 .
Définition : Produit scalaire des vecteurs bidimensionnels
Si les deux vecteurs ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 sont perpendiculaires, alors l'angle 𝜃 = 9 0 ∘ . On peut utiliser cette information pour établir que si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, alors ces vecteurs sont perpendiculaires.
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. C'est évident quand on se souvient de la formule du cosinus (si le cosinus de deux vecteurs est nul, c'est que ceux-ci sont orthogonaux).
Deux plans sont parallèles lorsque deux droites sécantes de l'un des plans sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l'autre plan.
Position relative d'une droite et d'un plan
Penser à utiliser le nombre de point d'intersection: Si la droite et le plan ont aucun point d'intersection: la droite est parallèle au plan. Si la droite et le plan ont au moins 2 point d'intersection: la droite est incluse dans le plan.
Les droites d'équations y = px + d et y = p'x + d' sont parallèles p = p', c'est-à-dire si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Les droites d'équations y = px + d et y = p'x + d' sont sécantes p ≠ p', c'est-à-dire si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents.
Définition. Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v . Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.
est non libre. Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles.
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
Le projeté orthogonal d'un point sur un plan
La définition est quasiment identique: Le projeté orthogonal d'un point A sur un plan P est le point du plan qui est le plus proche de A. Et de même, en pratique c'est simplement le point d'intersection du plan P et de la droite orthogonale à P passant par A.
Quelle propriété permet d'affirmer que les droites BC et AB sont perpendiculaires ? La propriété de orthocentre d'un triangle.
pour démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, on peut démontrer que arg( zD – zC zB – zA ) = π 2 ( π), c'est- à-dire que zD – zC zB – zA est imaginaire pur. 2°) Ecriture complexe d'une transformation géométrique.
- une règle et une équerre.
Deux droites (d) et (d') sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Soit une droite (d) de vecteur directeur et un plan P. La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur est orthogonal à tous les vecteurs du plan P.
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Une famille de vecteurs U 1 , U 2 , … , U p est orthogonale si pour tout couple où et sont deux éléments distincts de { 1 , 2 , … , p } , les vecteurs et sont orthogonaux, c'est-à-dire tels que f ( U i , U j ) = 0 .
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes. Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur . A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ? Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le travail d'une force lors d'un déplacement : le travail de la force F selon le trajet u est le produit scalaire des deux vecteurs. Dans la seconde illustration, ce travail est égal à –AB × AH.
u −v = (u −p(u))+(p(u)−v). u −w ) . u −p(u) et p(u) sont orthogonaux, donc d'après le théorème de Pythagore, u −p(u)2 +p(u)2 = u 2 d'où d(u,F) = u −p(u)2 = u 2 −p(u)2.
Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit.
Pour démontrer que deux plans sont sécants, il suffit donc de montrer que deux vecteurs normaux associés respectivement aux deux plans sont non colinéaires.
Réciproque du théorème de Thalès
Les produits en croix sont égaux donc CD / AC = CE / BC. On sait également que les points A,D,C et B,E,C sont alignés dans le même ordre. Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (DE) sont parallèles.
La position relative entre deux courbes Cf et Cg est donnée par le signe de la différence f(x) − g(x) : 1. Si f(x) − g(x) > 0 sur un ensemble I, Cf est au dessus (strictement) de Cg sur cet ensemble de points.