On peut vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, donc ils forment une base de F. Si z − 3y + 3x = 0, il n'y a pas de solution. Si z − 3y + 3x = 0, on obtient un syst`eme triangulaire, il y a donc une unique solution. Conclusion : (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ z − 3y + 3x = 0.
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l'espace. On note cette base . Soit une base de l'espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que . Dans ce cas, on dit que l'on a décomposé en fonction de , et .
(U,V)=(2i,-j) signifie que u=2i et v=-j. (i,j) étant une base, alors les vecteurs i et j sont non colinéaires. Ainsi, comme u est colinéaire à i, et v est colinéaire à j, alors (u,v) est aussi une base.
Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre.
a) Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. b) Une base est orthonormée si et seulement si ses vecteurs sont de norme 1 et deux `a deux orthogonaux.
Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs qui permet d'exprimer n'importe quel autre vecteur à l'aide d'une combinaison linéaire. On peut décomposer n'importe quel vecteur en deux dimensions en une somme de deux autres vecteurs lesquels sont multipliés par des scalaires.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Une famille est une base si et seulement la matrice P formée par les vecteurs colonnes des coordonnées des vecteurs de la famille dans la base de référence est une matrice inversible. Dans ce cas, P est la matrice de passage de la base de référence vers B'. Ici, il s'agit de montrer que P=(231342112) est inversible.
Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le vecteur nul →0 est colinéaire à tout vecteur. Car quel que soit un vecteur →u, on peut toujours écrire: →0=0⋅→u. 3 points A, B, C sont alignés ⇔ →AB et →AC sont colinéaires.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F.
Pour montrer que la famille (u, v) est libre, prenons une combinaison linéaire nulle de u et v : λ1u + λ2v = 0. v et donc u et v sont colinéaires, ce qui est absurde par hypothèse. cas possible est λ1 = λ2 = 0, et donc la famille (u, v) est bien libre.
Les composantes d'un vecteur s'écrivent 𝑎 ; 𝑏, où 𝑎 décrit le déplacement horizontal et 𝑏 le déplacement vertical de l'origine au point terminal ou l'extrémité du vecteur. Les composantes 𝑎, 𝑏 du vecteur 𝐀𝐁 d'origine 𝐴 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴 à l'extrémité 𝐵 𝑥 𝐵, 𝑦 𝐵 sont 𝑎 égale 𝑥 𝐵 moins 𝑥 𝐴, 𝑏 égale 𝑦 𝐵 moins 𝑦 𝐴.
Définitions. On appelle base de l'ensemble des vecteurs tout couple de vecteurs non-colinéaires. On appelle repère du plan tout triplé où O est un point du plan et est une base.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Soit deux vecteurs →u et →v; le nombre réel résultant de l'opération notée →u⋅→v et telle que →u⋅→v=‖→u‖⋅‖→v‖cosθ, où ‖→u‖ désigne la norme du vecteur u, ‖→v‖ désigne la norme du vecteurv et θ est la mesure de l'angle formé entre les directions des deux vecteurs.
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x | f (x) = 0} = {x | Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 . {y (−1 1 ) | y ∈ R} = 〈 (−1 1 ) 〉. Donc une base est (−1 1 ) .
Une partie F de E est appelée un sous-espace vectoriel si : • 0E ∈ F, • u + v ∈ F pour tous u, v ∈ F, • λ · u ∈ F pour tout λ ∈ et tout u ∈ F. Remarque. Expliquons chaque condition. La première condition signifie que le vecteur nul de E doit aussi être dans F.
Remarques : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Le vecteur est colinéaire à tout vecteur du plan.
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
Trois vecteurs non nuls ⃗ ⃗ u ,v et ⃗ w sont coplanaires si et seulement leurs représentants de même origine A ont des extrémités B , C B, C B,C et D telles que A , B , C A, B, C A,B,C et D appartiennent à un même plan.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
On reconnaît le produit scalaire euclidien de la géométrie classique, la quantité étant la norme euclidienne du vecteur . La base canonique de est donc une base orthonormale pour . On retrouve la situation classique de la géométrie euclidienne de l'espace.