Soit f:I→R f : I → R et x0∈I x 0 ∈ I . On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si le taux d'accroissement f(x)−f(x0)x−x0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 admet une limite finie lorsque x tend vers x0 et on appelle nombre dérivé de f en x0 la limite ainsi obtenue.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
On dit qu'une fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en 𝑥 = 𝑥 à gauche ou à droite respectivement.
la dérivée n-`eme de f en a l'application x ↦→ f(n)(x). Soit n ∈ N∗. On dit que f est n-fois continûment dérivable (ou de classe Cn) sur D si f est n-fois dérivable sur D et f(n) est continue. On dit que f est indéfiniment dérivable (ou de classe C∞) sur D lorsque pour tout n ∈ N, f est n-fois dérivable sur D.
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
Généralement, on ne se pose pas trop de question : par exemple pour f(x) = |x|^3, il suffit de dire que la fonction valeur absolue est dérivable sur R privé de 0 ainsi, la fonction f(x) = |x|^3 est dérivable sur R privé de 0.
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
Une fonction f est dite dérivable sur un intervalle I si f′(a) existe pour tout point a∈I .
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
Une fonction est dite dérivable si la dérivée de la fonction existe en tout point de son domaine .
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
Soit la fonction f définie par f(x) = si x ≠ 0, et f(0) = 1. Donc la fonction f est continue en 0.
En calcul, il est communément enseigné que les fonctions différentiables sont toujours continues, mais aussi toutes les fonctions continues "communes" données, telles que f(x)=x2, f(x)=ex, f(x)=xsin( x) etc. sont également différentiables.
Relation entre continuité et différentiabilité : Si une fonction est différentiable en un point, alors elle est continue en ce point. Cependant si une fonction est continue en un point, il est possible qu'elle ne soit pas dérivable. La différenciabilité implique la continuité, mais la continuité n'implique pas la différentiabilité .
Si la fonction est discontinue en a alors la fonction n'y est certainement pas dérivable. Ou bien, la fonction peut être continue mais avoir une pointe, comme f(x)=|x| f ( X ) = | X | à a=0.
La continuité d'une fonction est la caractéristique d'une fonction en vertu de laquelle la forme graphique de cette fonction est une onde continue. Une fonction différentiable est une fonction dont la dérivée existe en chaque point de son domaine.
Si f est une fonction et c un point, alors f est dit continu si limx→c−f(x)=f(c)=limx→c+f(x) . Une fonction f est différentiable en un point c de son domaine si limh→0−f(c+h)−f(c)h, et limh→0+f(c+h)−f(c)h, sont tous deux fini et égal.
En particulier, cette valeur n'est pas 0, donc la limite initiale ne peut pas être égale à zéro. (En fait, cette limite n'existe pas même si vous n'avez pas besoin de le montrer, juste qu'elle n'est pas égale à zéro.) Par conséquent, f n'est pas dérivable à (0,0) .
Les formules de continuité et de différentiabilité d'une fonction y = f(x) en un point x = c dans le domaine de la fonction sont légèrement similaires. La limite de la fonction à x = x doit être égale à la valeur de la fonction f(c), Limx→cf(x)=f(c) L imx → cf ( x ) = f ( c ) .
En mathématiques, la fonction de Weierstrass est un exemple de fonction à valeur réelle qui est continue partout mais différentiable nulle part. C'est un exemple de courbe fractale. Il porte le nom de son découvreur Karl Weierstrass. Tracé de la fonction de Weierstrass sur l'intervalle [−2, 2].