a) Lorsque le crochet entour le nombre, on dit qu'il est fermé, dans le cas contraire on dit qu'il est ouvert. Par exemple, [2;3[ est fermé en 2 (mais ouvert en 3), cela veut dire qu'il contient 2 mais pas 3 ! ] 2;3] est fermé en 3 (mais ouvert en 2), cela veut dire qu'il contient 3 mais pas 2.
Définitions 1.
Étymologiquement, un intervalle est un ensemble de nombres compris entre deux valeurs et appelées les bornes de l'intervalle. Un intervalle est dit borné s'il est limité des deux côtés. Un intervalle est dit fermé en , si la borne est comprise. Un intervalle est dit ouvert en , si la borne est exclue.
Un intervalle est fermé lorsque les valeurs qui l'encadrent sont incluses dans l'intervalle. Il se présente avec les crochets vers l'intérieur.
On peut représenter sur une droite l'ensemble de tous les nombres x tels que : −1 ⩽ x ⩽ 4. Autrement dit, x vérifie à la fois les deux inégalités x ⩾ −1 et x ⩽ 4. Cet ensemble est appelé intervalle : il est noté [−1 ; 4]. Il contient tous les réels compris entre −1 et 4 (bornes comprises).
Méthode Comment trouver le nombre d'intervalles sur une ligne fermée ? Sur des lignes fermées, le nombre d'intervalles (I) est égal au nombre d'objets (O). I = O.
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Soit I une partie de R . On dit que I est un intervalle si, pour tous x<y appartenant à I, pour tout z∈R z ∈ R avec x<z<y, x < z < y , alors z est élément de I.
L'intersection est distributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). L'union est distributive sur l'intersection, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩(A ∪ C).
Définition d'une échelle d'intervalle
Une échelle d'intervalle désigne toute plage de valeurs ayant une différence mathématique significative, mais pas de zéro absolu.
Pour déterminer l'intersection de deux intervalles, on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué et on repère les points du premier intervalle plus tous les points du second intervalle.
Définition 1 : Un intervalle de R est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réels a et b où a et inférieur à b. Remarque 1 : Selon que l'on prenne (ou non) le nombre a, on dira que l'intervalle est fermé (ouvert) du côté de a.
Tout intervalle fermé est un ensemble fermé. Toute réunion finie de fermés est encore est encore un fermé. L'intersection d'une famille quelconque (même infinie) de fermés est encore un fermé. Un singleton est fermé.
Mathématiques. Les crochets servent aussi à désigner couramment des crochets de Lie. Ils sont parfois introduits sans faire une mention explicite à la structure d'algèbre de Lie. Les crochets désignent aussi dans la théorie des groupes le commutateur de deux éléments.
Amplitude : c'est la largeur d'une classe. Pour trouver l'amplitude, on prend la valeur de l'étendue et on divise ce nombre par le nombre de classe voulue. Le nombre de classe doit se situer entre 5 et 12. Habituellement, l'amplitude d'une classe est un multiple de 5.
Le réel a + b 2 est le centre de l'intervalle, b − a 2 est le rayon. Cette définition de l'intervalle , sera très souvent utilisée, en particulier, dans l'étude des suites et des fonctions. Les propriétés locales font appel à la notion de voisinage d'un point.
On récapitule ! Variables qualitatives ou catégorielles expriment une qualité comme le sexe, le métier ou le nom. Nominales, comme par exemple le nom des journaux, le signe astrologique. Ordinales, désigne le rang : un peu, moyen, beaucoup, énormément, à la folie !
L'échelle ordinale est similaire à l'échelle nominale exceptée qu'elle permet d'établir une relation d'ordre entre les éléments d'un ensemble, sans toutefois être capable d'évaluer de façon quantitative la distance qui les sépare.
L'intersection (∩) de deux ensembles A et B s'exprime ainsi : A∩B={x∈Ω∣x∈A et x∈B} où Ω représente l'ensemble dans lequel se trouvent tous les éléments, c'est-à-dire l'univers des possibles.
A ∩ B (l'intersection de A et B) est l'ensemble de nombres qui appartiennent à la fois à A et à B. A U B (l'union de A et B) est l'ensemble de nombres qui appartiennent soit à A soit à B (soit aux deux).
Intersection et Réunion : A ∩ B = "A inter B" se réalise quand les événements A ET B se réalisent ensemble ("simultanément") . A ∪ B = "A union B" se réalise quand l'événement A OU l'événement B se réalise (ou les 2). Propriété fondamentale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Remarque : La fonction f : ℝ* → ℝ définie par f(x) = x/|x| est dérivable sur ℝ*, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais f n'est pas constante. Ceci tient au fait que ℝ* = ℝ\{0} n'est pas un intervalle.
La fonction f n'est donc pas continue sur R .
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.