Première méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est.
On supprime le chiffre des unités du nombre considéré. On obtient un nouveau nombre, auquel on retranche le double du chiffre des unités que l'on vient de supprimer. Le nombre de départ est divisible par 7 si la différence que l'on vient de calculer l'est aussi.
Pour savoir si un nombre est divisible par 7, il suffit d'ajouter le nombre de dizaines (pas le chiffre, le nombre!) au produit des unités par 5. Si ce nouveau nombre (plus petit) est divisible par 7 alors le nombre de départ l'est aussi.
Un nombre est divisible par 7 si le nombre formé en supprimant le dernier chiffre et en soustrayant deux fois la valeur de ce chiffre est divisible par 7.
Inversement, 19 231 n'est pas divisible par 7 car 1 × 1 + 3 × 3 + 2 × 2 + 9 × (−1) + 1 × (−3) = 1 + 9 + 4 – 9 – 3 = 2 n'est pas un multiple de 7.
Par exemple, le nombre entier 7 est premier car 1 et 7 sont ses seuls diviseurs entiers et positifs. Tout nombre pair étant multiple de 2, les nombres premiers sont tous impairs, excepté le nombre 2 lui-même.
On considère ensuite les multiples suivants, jusqu'à atteindre 150 150 . Les multiples de 7 7 entre 100 100 et 150 150 sont donc 105,112,119,126,133,140,147 105 , 112 , 119 , 126 , 133 , 140 , 147 .
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, etc. sont tous des multiples de sept.
Propriétés Exemples Un nombre entier est divisible par 2 : → Quand son chiffre des unités est 0,2, 4, 6 ou 8 et uniquement dans ce cas. 4 689 n'est pas divisible par 2 → 4 689 est un nombre impair.
Exemple : 896 est-il divisible par 7? 89 - 2×6 = 89 - 12 = 77. 77 est divisible par 7 donc 896 l'est aussi.
7, 14, 21, 35, 42, 56, 63, 70, 77, 105, 112, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 175, 203, 210, 217, 224, 231, 245, 252, 266, 273, 301, 315, 322, 336, 343, 350, 357, 364, 371, 406, 413, 420, 427, 434, 441, 455, 462, 476, 504, 511, 525, 532, 546, 553, 560, 567, 574, 602, 616, 623, 630, 637, 644, 651, 665, 672, 700.
175 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 (9 ; 18 ; 27 ; etc.).
Les multiples d'un nombre
L'ensemble des multiples d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par chacun des nombres entiers (Z ). 12 est un multiple de 3 , car 3×4=12 3 × 4 = 12 . L'ensemble des multiples de 3 est obtenu en multipliant 3 par chacun des éléments de Z .
La méthode est la suivante : On prend le dernier chiffre du nombre dont on cherche à savoir s'il est divisible par 7. On multiplie ce chiffre par 5 et on ajoute ce résultat au nombre de dizaines du nombre de départ. Si le résultat obtenu est divisible par 7, alors le nombre initial est divisible par 7.
Ex. : 30, 790, 9 850, 213 850, etc. Pour trouver les multiples de 3, il faut additionner tous les chiffres composant le nombre : si le total est égal à 3, 6 ou 9, c'est bien un multiple de 3. Ex. : si l'on additionne le 1 et le 2 du nombre 12, on trouve 3 (1 + 2 = 3) ; donc 12 est un multiple de 3 (3 × 4 = 12).
Tous les nombres terminés par 0, 2, 4, 6 ou 8 sont divisibles par 2.
par 8 s'il est divisible par 2 trois fois de suite ou si le nombre formé de ses trois derniers chiffres est divisible par 8 : 192, 576 et 1728 sont divisibles par 8. par 9 si sa somme digitale est divisible par 9 : 99, 693 et 2772 sont divisibles par 9.
Les multiples de 8 sont 8, 16, 24, 32, 40, etc.
Les facteurs premiers communs sont 2 et 7 donc PGCD(1960 ; 2016) = 23 x 7 = 56. Exemple : Calcul du PPCM de 135 et 63. 135 = 33 x 5 et 63 = 32 x 7. Les facteurs premiers apparaissant dans les deux décompositions sont 3 ; 5 et 7 donc PPCM(135 ; 63) = 33 x 5 x 7 = 945.
Les multiples. Qu'est-ce qu'un multiple ? Quels sont les multiples de 2 ? Les multiples de 2 sont les résultats de la table de multiplication par 2 c'est à dire 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20 ; 22 ;24 ;26 ;28 ; 30 ; 32 ;34 ;36 ;38 ; 40 ; etc…
Cent quarante-sept est : un multiple de 3.
L'entier 0 est un multiple de tout nombre entier n, car 0 = 0 × n.