Si une droite \left(d\right) a pour équation ax+by +c=0, a, b et c étant trois réels quelconques, alors le vecteur \overrightarrow{u}\left( -b ; a \right) est un vecteur directeur de \left(d\right).
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
La direction du vecteur est celle de la 'droite' dans laquelle est inclus le vecteur, le sens est donné par l'orientation du segment: 'vers la gauche' ou bien 'vers la droite', la norme correspond à la longueur du segment. Le sens est déterminé par la flèche.
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Il est facile de déterminer un vecteur directeur. Si la droite est écrite sous forme réduite (soit y=ax+b y = a x + b ), le vecteur →u(1;a) u → ( 1 ; a ) fait l'affaire. Si son équation apparaît sous forme cartésienne, on prend →u(−β;α) u → ( − β ; α ) ou →u(β;−α) u → ( β ; − α ) .
Le terme vecteur de direction, communément désigné par d, est utilisé pour décrire un vecteur unitaire utilisé pour représenter la direction spatiale et la direction relative .
(xB - xA ; yB - yA) est l'un des vecteurs directeurs de cette droite. Si une droite a pour équation réduite y =ax + b alors il suffit de déterminer deux points de cette droite pour trouver un vecteur unitaire.
D'après un théorème du cours, si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d'une droite (d), alors le vecteur est un vecteur directeur de (d) ; à l'aide du vecteur directeur , placer un second point de la droite à partir du point A ; relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
On rappelle que deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur. Comme les deux droites sont parallèles, elles ont le même vecteur directeur. On peut donc utiliser le vecteur directeur de la droite donnée pour ⃑ 𝑑 dans l'équation vectorielle de la droite recherchée.
Pour déterminer l'équation réduite de la forme y = mx + p d'une droite (d) à partir des coordonnées de deux points A et B appartenant à (d) : calculer la valeur du coefficient directeur m à partir de la relation ; calculer la valeur de l'ordonnée à l'origine p en utilisant les coordonnées du point A ou B.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 . Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule A B → = ( x B − x A y B − y A ) .
Les caractéristiques d'un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n'a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0. Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
Propriété : Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction. Conséquences géométriques : Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que les points A, B, C sont alignés. Dire que les vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
La direction d'un vecteur est la mesure de l'angle qu'il fait avec une ligne horizontale . L'une des formules suivantes peut être utilisée pour trouver la direction d'un vecteur : tan θ = yx , où est le changement horizontal et est le changement vertical.
Vecteur directeur :
Le vecteur directeur d'une droite n'est pas unique : deux points quelconques de la droite peuvent définir un vecteur directeur. Si on a deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v directeurs de la droite (d), alors ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires et on a ⃗ ⃗ det(u ,v )=0.
On peut calculer le coefficient directeur grâce à la formule a = y B - y A x B - x A . Ici, cela donne ... a = 8 - 5 2 - 1 - = 3 1 = 3 . On peut ensuite calculer l'ordonnée à l'origine grâce à la formule b = y B - a × x B = y A - a × x A .
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
Avec des vecteurs directeurs de chaque droite
Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 5x+2y+1=0 et -15x-6y+7=0.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan; à partir d'une équation cartésienne du plan. Si le plan a pour équation cartésienne ax+by+cz=d, alors un vecteur normal du plan est le vecteur de coordonnées (a,b,c).
Les vecteurs directeurs permettent d'étudier le parallélisme de deux droites. Théorème : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il existe beaucoup de couples de vecteurs directeurs du plan.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Le vecteur entre deux points peut facilement être exprimé en utilisant les vecteurs de position de chaque point . Le point P = ( x 1 , y 1 ) peut être réécrit comme un vecteur de position : OP → = ( x 1 , y 1 ) .
Si deux vecteurs ont la même direction sur un plan de coordonnées, alors les droites doivent être parallèles . Cela signifie qu'ils ne se rencontrent jamais. Ainsi, il ressort clairement du diagramme que le vecteur qui a la même direction que 𝐚 est le vecteur 𝐝. Les vecteurs 𝐚 et 𝐛 ont le même point initial.
Graphiquement, deux vecteurs sont égaux s'ils ont le même sens, la même direction et la même norme. Inversement, si deux vecteurs ont le même sens, la même direction et la même norme, alors ils sont égaux. Une égalité de vecteurs permet aussi de montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.