On considère une fonction f définie sur Df . On dit que la fonction f est paire si l'ensemble Df est centré en 0 (c'est-à-dire que si x ! Df , alors – x ! Df ) et si pour tout x de Df , f(– x) = f(x).
Conclusion. La fonction g n'est ni paire, ni impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal quelconque n'est est symétrique ni par rapport à l'axe des ordonnées, ni par rapport à l'origine O du repère. Par conséquent D h est symétrique par rapport à zéro.
Sommaire. Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Si f(−x)=f(x), la fonction est paire, si f(−x)=−f(x), la fonction est impaire et si on n'obtient aucune des deux égalités précédentes, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Conseil On peut s'aider de la courbe de f pour conjecturer si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Si f(−x)=f(x) alors f est paire. Si f(−x)=−f(x) alors f est impaire. Dans les autres cas, appliquer la méthode pour montrer qu'elle n'est ni paire, ni impaire.
Si la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine. L'intégrale entre a et -a est nulle car l'aire comprise entre -a et 0 aura un signe moins alors que celle entre 0 et a aura la même valeur mais avec un signe +.
Une fonction est croissante sur un intervalle I, si, en parcourant la courbe de gauche à droite, les images en ordonnées augmentent. Une fonction est décroissante sur un intervalle I, si, en parcourant la courbe de gauche à droite, les images en ordonnées diminuent.
Une fonction est paire si f(x) = f(x) pour toutes les valeurs de x de son domaine. En d'autres termes, fest une fonction paire si f(-x) = f(x), Vx € Dƒ. Une fonction est impaire si f(x) = f(x) pour toutes les valeurs de x de son domaine. En d'autres termes, fest une fonction paire si f(x) = -f(x), Vx € Dƒ.
La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Comme la fonction cube est strictement croissante sur , si et sont deux réels positif, négatifs ou nuls, alors équivaut à (l'inégalité ne change pas de sens).
Le cosinus hyperbolique est la partie paire de la fonction exponentielle, et le sinus hyperbolique est sa partie impaire. Ces définitions sont à rapprocher des formules d'Euler.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Une partie A d'un espace métrique borné (E,d) est dite bornée s'il existe x∈E x ∈ E et M>0 tel que A⊂B(x,M), A ⊂ B ( x , M ) , c'est-à-dire que, pour tout x∈A, x ∈ A , d(x,a)≤M. d ( x , a ) ≤ M .
Une fonction f définie sur est une fonction affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b avec a et b réels.
Si on peut amener une moitié de la figure sur l'autre, en lui faisant faire un demi-tour autour d'un point O, la figure a pour centre de symétrie le point O. Si on peut superposer les deux parties, en pliant le long d'une droite d, la figure a pour axe de symétrie la droite d.
Définition. Fonction inverse : La fonction qui à tout nombre réel x non nul associe son inverse x1 est appelée fonction inverse.
La fonction cube est la fonction 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 . Elle a les propriétés suivantes : L'image de la fonction est positive lorsque 𝑥 est positif, négative lorsque 𝑥 est négatif et nulle lorsque 𝑥 = 0 .
La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout x réel on a : f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x).
Donc lorsqu'on additionne 1 ou lorsqu'on soustrait 1 à un nombre impair, on a toujours un nombre pair." La mathématicienne prend ensuite un autre exemple : "Si on prend 275, ça équivaut à 274 (nombre pair) + 1.
Les fonctions impaires
On dit qu'une fonction est une impaire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. On peut dire aussi que la courbe est invariante par la rotation d'angle et de centre l'origine du repère.
Sa courbe représentative est une parabole.
Par lecture graphique, -1 et 3 sont les antécédents de 3 par f. Exemple 2 : Voici la représentation graphique d'une fonction f : Pour déterminer les antécédents de 1 par f, on lit les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 1. Par lecture graphique, 3 est l'antécédent de 1 par f.
Pour déterminer l'image de 2 par f, on commence par repérer 2 sur l'axe des abscisses, puis on lit l'ordonnée de l'unique point de la courbe d'abscisse 2. On peut lire que l'image de 2 par la fonction f est 3.
Tracer la courbe représentative d'une fonction comportant une valeur absolue. On peut tracer n'importe la courbe représentative d'une fonction de la forme f(x)=k|x-a|+h en utilisant des transformations du plan (décalages, symétrie et homothéties).
Centre de symétrie Si la fonction f vérifie: pour tout x de Df tel que a – x et a + x ! Df , f( a – x) + f(a + x) = 2b, alors le point de coordonnées (a; b) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f.
points que σ). Évidemment, I[a,b](f) ⩽ I[a,b](f). f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).