« Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle. »
Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point. Soit la fonction f définie sur par f(x) = x2+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1.
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors f (a) ≤ f (b) (respectivement si a < b alors f (a) < f (b)).
Soit f:I→R f : I → R une fonction et a∈I a ∈ I . On dit que f est continue en a si f admet pour limite f(a) en a : ∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈I, |x−a|<η⟹|f(x)−f(a)|<ε. ∀ ε > 0 , ∃ η > 0 , ∀ x ∈ I , | x − a | < η ⟹ | f ( x ) − f ( a ) | < ε .
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Définition : Continuité d'une fonction en un point. Soit 𝑎 ∈ ℝ . On dit qu'une fonction à valeur réelle 𝑓 ( 𝑥 ) est continue en 𝑥 = 𝑎 si l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑎 ) .
Formellement, on écrira: ]a, b] = {x ∈ E | a < x ≤ b}.
Notion de continuité
On dit qu'une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)= f(a). On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout x_0∈I lim(x→x0)f(x) = f(x0). Une fonction continue est une fonction que l'on peut dessiner « sans lever le crayon ».
Pour comparer deux fonctions définies par f(x) et g(x): - on calcule f(x) - g(x), en simplifiant autant que possible l'expression. - on réalise le tableau de signes du résultat (revoir les signes des fonctions affines et des trinômes !).
Pour trouver le maximum d'une fonction sur un intervalle , il faut : déterminer la dérivée de la fonction, ; résoudre l'équation f ′ ( x ) = 0 ; vérifier qu'il s'agit d'un maximum en testant d'autres valeurs de la fonction, ou en utilisant la dérivée seconde.
Si ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]. Pour localiser cette solution, on pourra utiliser sa calculatrice.
Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles. Il s'agit donc de la zone de l'axe gradué où les deux ensembles se superposent. Ainsi I ∩ J = ]0 ; 3].
L'intervalle de tous les nombres entre a et b, y compris a et b, est noté comme [a,b] et si a et b sont exclus, il est noté comme ]a,b[. On peut également remplacer la virgule par un point-virgule dans les pays où les virgules sont utilisées pour écrire des nombres décimaux.
Un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l'encadrent ne sont pas incluses dans l'intervalle. Il se présente avec les crochets vers l'extérieur.
Pourquoi une fonction dérivable en un point y est nécessairement continue ? - Quora. Très intuitivement si une fonction est dérivable en un réel a alors elle admet en ce réel une tangente unique t au graphe de la fonction. La tangente t est une droite. Elle est donc partout continue et en particulier en a.
Pour les éventuels points pour lesquels la fonction est définie d'une autre manière, on étudie la continuité. Pour cela, on sait que si \lim\limits_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right), alors la fonction f est continue en x=a.
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Si a et b désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire a ou b sont des réels ou sont les symboles − ∞ ou + ∞ ) alors les extrémités de l'intervalle sont lim x → a f ( a ) et lim x → b f ( x ) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).
La fonction 𝑓 est strictement croissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 et est strictement décroissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) < 0 . Par conséquent, 𝑓 est strictement croissante sur l'intervalle ] 0 ; 1 [ et est strictement décroissante sur les intervalles ] − ∞ ; 0 [ et ] 1 ; + ∞ [ .
Amplitude d'une classe (ou d'un intervalle) :
C'est la longueur de l'intervalle. L'amplitude de la classe[ei ei+1 [ est ei+1 - ei .
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. La fonction carré x ↦→ x2 n'est pas monotone : en effet, bien qu'elle soit ”tantôt croissante, tantôt décroissante”, elle n'est ni croissante ni décroissante.
Par conséquent, l'ensemble de définition est l'ensemble le plus large possible, soit 𝑋 = ℝ . Si nous joignons ces points et prolongeons la courbe vers le haut, nous obtenons la figure suivante. Donc, 𝑓 ( 0 ) = 1 est un minimum.
Méthode : Pour comparer deux fonctions f à un réel m, on peut étudier le signe de f−m, càd le signe de f(x)−m pour x appartenant à Df. f(x)−m<0ñf(x)<m f(x)−m=0ñf(x)=m Interprétation graphique : Soient Cf la courbe représentative d'une fonction f.