(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Pour montrer qu'une application est bien définie, il faut s'assurer que pour chaque antécédent x on définit bien une image unique y dans l'ensemble d'arrivée (d'où l'importance de l'ensemble d'arrivée). Ici c'est trivial, par définition de d, y=d(x,F) ne définit qu'une seule image pour x.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 un ⩽ 1, alors la suite (un) est décroissante. c) Si la suite (un) est définie explicitement : un = f (n), alors il suffit d'étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle 0;+∞ .
La définition d'une suite. Définir une suite, c'est donner une formule permettant de calculer tous ses termes. Une suite peut être définie de manière explicite (la valeur de chaque terme est directement donnée) ou par récurrence (la valeur d'un terme est donnée en fonction du terme précédent).
Définition : Une suite est une « succession » de nombres réels. Ces nombres réels sont les termes de la suite. Une suite (un) associe, à tout entier n, un nombre réel noté un et appelé le terme général de la suite. La notation un est la notation indicielle, n est appelé l'indice ou le rang.
Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
Dire qu'une suite (Un) est décroissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un. On alors peut choisir l'une des deux méthodes suivantes : On calcule la différence Un+1 - Un : Si pour tout entier n, Un+1 - Un 0 alors la suite (Un) est croissante. Si pour tout entier n, Un+1 - Un 0 alors la suite (Un) est décroissante.
un+1−un. Penser à factoriser un+1−un puis à faire un tableau de signe. Si à partir d'un certain rang, un+1−un⩾0, alors (un) est croissante à partir de ce rang. Si à partir d'un certain rang, un+1−un⩽0, alors (un) est décroissante à partir de ce rang.
Pour déterminer le premier terme de la suite, il suffit de remplacer la raison dans une des équations et résoudre pour . Calculer la raison d'une suite arithmétique nous aide à déterminer son sens de variation.
Une suite géométrique de raison q > 0 q>0 q>0 et de premier terme u 0 > 0 u_0>0 u0>0 est croissante (resp. décroissante) si et seulement si q ⩾ 1 q \geqslant 1 q⩾1(resp. q⩽1).
Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : un+1 ≥ un ou: Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal à son précédent : un+1 ≤ un ou: Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.
Autrement dit, il faut montrer que le quotient est constant : Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient n'est pas constant.
Exemple. Soit f une fonction de la variable réelle x définie par f ( x ) = 8 x + 32 . La fonction est définie pour tous les x tels que est positif ou nul et seulement pour ceux-ci. La quantité est positive ou nulle si et seulement si 8 x est supérieur ou égal à − 32 .
On appelle f fonction définie sur D , tout procédé de calcul, qui à chaque réel x , lui associe un réel unique noté f(x) .
Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite (un)n∈ : — soit comme une fonction de dans , c'est-à-dire de manière plane avec en abscisse et en ordonnée, — soit comme un ensemble de valeurs le long d'un axe.
Une fonction peut-elle être ni croissante ni décroissante ? - Quora. Oui, cela s'appelle une fonction non monotone. C'est une fonction qui ne croit ni ne décroit.
Pour montrer qu'une suite est géométrique, il est nécessaire de prouver que le quotient u n + 1 u n est constant pour tout nombre entier .
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
On parle de décroissance lorsque, sur un intervalle donné du domaine d'une fonction, l'image de celle-ci n'augmente pas. La décroissance correspond donc à un intervalle en x sur lequel les valeurs de y n'augmentent pas : elles diminuent ou restent constantes.
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
On peut donc écrire t=2×n+rang 0. t = 2 × n + rang 0. On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplaçant le terme et le rang par un couple dans la table des valeurs. On peut déterminer la valeur du terme qui serait situé au rang 0.
Elle en déduit alors les nombres qui suivent (5 + 8 = 13 ; 8 + 13 = 21 ; 13 + 21 = 37…). Cette célèbre suite porte le nom de Fibonacci, mathématicien italien du xiiie siècle.
La nature d'une suite (convergence ou divergence) ne dépend que de son comportement quand n → + ∞ ; on dit encore à partir d'un certain rang. On peut en particulier modifier les termes d'une suite pour un nombre fini d'indices sans en changer la nature.