Si b > 0 alors l'équation √x = b admet une solution b² : Toutes les valeurs négatives sont des valeurs interdites.
Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
Exemples. Si ,quelles sont les valeurs interdites? 2 est une valeur interdite car c'est une valeur qui annule le dénominateur x-2 (2-2 = 0). Toutes les valeurs négatives sont des valeurs interdites à cause du : on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.
Equations quotients
Une équation de la forme P(x)Q(x)=0 , avec Q(x)≠0 est appelée équation quotient nul. Un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul et le dénominateur est différent de 0. On cherche d'abord les éventuelles valeurs interdites : x−3≠0 pour x≠3. 3 est donc la seule valeur interdite.
Propriété : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul. 3x + 2 5x + 3 = 0. 5 est donc la seule valeur interdite.
Lorsqu'une valeur est interdite, il faut l'indiquer par une double barre : ║. On étudie séparément chacun le signe de tous les facteurs. On utilise la règle des signes : « + par + fait + », « + par - fait - », « - par + fait - » et « - par -fait +».
Pour déterminer les solutions de 𝑓 de 𝑥 égale zéro, on s'intéresse aux points de la courbe dont l'ordonnée 𝑦 est égale à zéro. L'origine du repère est le point où 𝑦 égale zéro et 𝑥 égale zéro. 𝑦 égale zéro correspond à une hauteur nulle. La droite d'équation 𝑦 égale zéro correspond à l'axe des 𝑥.
Le reste est nul si le quotient des deux nombres de la division est exact, sinon ce quotient est approximatif. Une division est dite euclidienne quand son dividende, son diviseur et son quotient sont des nombres entiers naturels.
Lorsque vous divisez un nombre par zéro, le résultat est infini, ce qui n'est pas un nombre réel et ne peut être représenté dans la plupart des systèmes mathématiques. En outre, la division par zéro n'a pas un résultat bien défini et peut entraîner des incohérences et des contradictions dans les calculs mathématiques.
Un quotient est nul si, et seulement si, son numérateur est nul sur son ensemble de définition. Résoudre une inéquation produit, c'est résoudre une inéquation du type avec , , et , et . Cela revient à étudier le signe de chacun des facteurs, c'est-à-dire le signe de et celui de .
Résoudre une inéquation consiste à trouver l'ensemble des valeurs par lesquelles on peut remplacer la variable pour obtenir une inégalité vraie. Par exemple : La solution x=1 est une des solutions de l'inégalité 2x+1<5, car en la remplaçant dans cette dernière on obtient 2×1+1<5 qui est une inégalité vraie.
L'hypothèse de Riemann, un problème irrésolu
Ce problème est considéré par de nombreux mathématiciens comme l'un des plus difficiles de tous les temps. Et en effet, l'hypothèse de Riemann n'a jamais été résolue !
Si k \notin J_i alors l'équation f\left(x\right) = k n'admet pas de solution sur I_i. Si k \in J_i alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = k admet une unique solution sur I_i.
Les équations de la forme a⋅b^(cx)=d. Par exemple, l'équation 6⋅10^(2x)=48. Pour résoudre une équation où l'inconnue est en exposant, on utilise quasi-systématiquement les logarithmes !
Valeur exacte
La division 64,5 ÷ 15 se termine, on dit aussi qu'elle « tombe juste ». L'écriture décimale 4,3 est donc la valeur exacte du quotient. On peut écrire 64,5 ÷ 15 = 4,3.
Soustrayez 4 de 7 . Le résultat de la division de 74 est 1 avec un reste de 3 .
Le quotient d'un nombre A par un nombre B est le nombre Q tel que le produit de Q par B est égal à A. Ce que l'on écrit : a ¸ b = q si b ´ q = a.
Utilisation. Certaines équations peuvent se ramener à des équations produit par factorisation. Par exemple l'équation x2 = 9, qui est équivalente à x2 − 9 = 0, se factorise en (x − 3)(x + 3) = 0. Ce dernier produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si et seulement si x = 3 ou x = −3.
L'équation (x + 2) (3 – x) = 0 est une équation produit nul. Or si un produit de facteur est nul alors l'un au moins des facteurs est nul. L'équation produit nul (x + 2)(3 – x) = 0 admet deux solutions : -2 et 3. Si un produit de facteur est nul alors l'un au moins des facteurs est nul.
Il existe un moyen de résoudre une équation du second degré sans passer par le calcul du discriminant: la factorisation. Cette méthode consiste à trouver une relation entre le produit de a par c d'une part, et b de l'autre.
Si les droites sont parallèles entre elles, on aura plutôt une infinité de solution si elles sont confondues, ou l'absence de solution si elles sont disjointes. On peut résoudre un système d'équations linéaires de plusieurs façons.