Une des méthodes les plus couramment utilisées pour déterminer le sens de variation d'une fonction est l'étude du signe de sa dérivée. ➕/➖ La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantanée, et son signe nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction.
2) Sens de variation et signe de la dérivée
f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est positive ou nulle. f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est négative ou nulle.
Pour connaître le signe de f', il suffit simplement de déterminer les valeurs de x pour lesquelles f'(x) s'annule, or on sait construire le tableau de signe d'une fonction de type ax + b. f '(x) = 3x2 +6x -9 = 3(x+3)(x-1), x+3 = 0 --> x=-3 et x-1=0 --> x=1.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Pour trouver le nième terme d'une séquence, utilisez la formule a n =a 1 +(n−1)d . Voici comment comprendre cette formule du nième terme. Pour trouver le nième terme, calculez d’abord la différence commune, d . Multipliez ensuite chaque numéro de terme de la séquence (n = 1, 2, 3, …) par la différence commune.
On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) < f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x < y ⇒ f (x) < f (y). La fonction cube x ↦→ x3 est strictement croissante, bien que sa dérivée s'annule (en zéro).
Sens de variation de la fonction ln
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [. On en déduit que : Pour tous a et b strictement positifs, a < b ln (a) < ln (b). Pour tous a et b strictement positifs, a = b ln (a) = ln (b).
Méthode : Pour étudier les variations d'une fonction polynome du 3° degré, il suffit de déterminer l'expression de sa fonction dérivée ( qui sera du 2° degré ), puis d'étudier son signe et de conclure avec le théorème.
Donner le sens de variation d'une fonction c'est dire si elle est croissante ou décroissante dans un intervalle donné.
Pour cela, il faut calculer la variation absolue, c'est-à-dire faire la différence entre la valeur d'arrivée et la valeur de départ, que l'on divise par la valeur de départ, le tout multiplié par 100.
Il est toujours préférable de commencer par comprendre la relation entre deux quantités en comparaison.) Exemple concret de variation directe : Supposons que vous travaillez sur une base de salaire horaire. Dans ce cas, le nombre d'heures que vous travaillez est directement proportionnel à vos gains .
Sens de variation
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ] –∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [. Démonstration : sur ] 0 ; +∞ [
Une fonction affine est croissante si et seulement si son taux de variation est positif. Une fonction affine est décroissante si et seulement si son taux de variation est négatif. Une fonction affine est constante si et seulement si son taux de variation est nul.
Une variation croissante est symbolisée par une flèche droite dirigée vers le haut à droite, tandis qu'une variation décroissante est symbolisée par une flèche dirigée en bas à droite. Le cas d'une fonction constante sur un intervalle est éventuellement noté par une flèche horizontale dirigée vers la droite.
ln est une bijection strictement croissante de ]0, +∞[ sur R. Proposition 3. ∀x ∈ I, (u ◦ v) (x) = u ◦ v(x) × v (x).
Sens de variation : La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0, +∞[. On a ln′(x) = 1 x , ∀x ∈ ]0, +∞[, donc ∀x ∈ ]0, +∞[, ln′(x) > 0, et ln est une fonction strictement croissante sur ]0, +∞[.
Ln : Ln est appelé le logarithme népérien . On l'appelle aussi logarithme de la base e. Ici, e est un nombre qui est un nombre irrationnel et transcendantal et est approximativement égal à 2,718281828459… Le logarithme népérien (ln) est représenté par ln x ou log e x.
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées, en faisant attention aux éventuelles valeurs interdites sur l'intervalle d'étude.
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
La dérivée d'une fonction peut être utilisée pour déterminer si la fonction augmente ou diminue sur n'importe quel intervalle de son domaine. Si f′(x) > 0 en chaque point d'un intervalle I, alors la fonction est dite croissante sur I. f′(x) < 0 en chaque point d'un intervalle I , alors la fonction est dite décroissante sur moi.
La formule du nième terme d'une séquence arithmétique est an=a1+(n−1)d . Cette formule peut être utilisée pour déterminer la valeur de n’importe quel terme dans une séquence arithmétique. Une suite arithmétique a une différence commune entre chaque terme.
Conseils sur les séquences et les séries
En général, la suite arithmétique peut être représentée comme a, a+d, a+2d, a+3d,... Chaque terme successif est obtenu selon une progression géométrique en multipliant la raison par son terme précédent . La somme de la formule GP infinie est donnée par S n = a/(1−r) où |r|<1.
an=a+(n−1)d an = a + ( n − 1 ) d où an est le nième terme, a est le premier terme, d est la différence commune. Par exemple, dans la Progression Géométrique 2,4,8,…. est donné par la formule. an=arn−1 an = arn − 1 .