Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
En utilisant la formule. Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.
L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan . On procède en deux étapes : D'abord déterminer un vecteur normal au plan Ensuite déterminer d . une valeur pour cette variable et on en déduit les deux autres .
Si nous disposons de trois points non-colinéaires dans le plan A ( x A , y A , z A ) , B ( x B , y B , z B ) et C ( x C , y C , z C ) , nous pouvons obtenir la représentation paramétrique d'un plan comme suit : { x − x A = t ( x B − x A ) + t ′ ( x C − x A ) y − y A = t ( y B − y A ) + t ′ ( y C − y A ) z − z A = t ( z ...
à partir d'une équation cartésienne du plan. Si le plan a pour équation cartésienne ax+by+cz=d, alors un vecteur normal du plan est le vecteur de coordonnées (a,b,c).
Définition : Équation cartésienne d'un plan
L'équation cartésienne d'un plan dans ℝ est 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0 , où 𝑎 , 𝑏 et 𝑐 sont les composantes du vecteur normal ⃑ 𝑛 = ( 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) qui est orthogonal au plan ou à tout vecteur directeur du plan.
L'équation cartésienne d'une droite est de la forme ax + by + c = 0, avec a, b et c ∈ℝ et au moins l'un des nombres a et b non nul.
Trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Soient les points A\left(1;-2;0\right), B\left(3;4;0\right) et C\left(3;1;5\right). Déterminer si les points A, B et C définissent un plan.
Calcul vectoriel - Points clés
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 . Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule A B → = ( x B − x A y B − y A ) .
Un point M appartient au plan P si et seulement si il existe des réels k et k' tels que . On dira alors que les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan. La donnée de deux vecteurs non colinéaires d'un plan permet aussi de définir ce que l'on appelle la direction du plan.
On connaît l'équation de la droite
Soit ( O , ı → , ȷ → ) un repère du plan et une droite d'équation a x + b y = c , où , et sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs u → ( − b a ) et u ′ → ( b − a ) et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite .
Pour cela, on pense à utiliser →n un vecteur normal du plan et →u un vecteur directeur de la droite . Si →n⋅→u=0 alors la droite est parallèle au plan. Si →n⋅→u≠0 alors la droite est sécante au plan. Si →n et →u sont colinéaires alors la droite est perpendiculaire au plan.
En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d). Une équation paramétrique de la droite (d) passant par le point A (1 ; 2 ; 3) et de vecteur directeur (-1 ; 2 ; 1) est avec t ∈ .
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
Les coordonnées cartésiennes d'un vecteur ⃑ 𝑣 = 𝑥 ⃑ 𝑖 + 𝑦 ⃑ 𝑗 peuvent être obtenues à partir des coordonnées polaires ⃑ 𝑣 = ( 𝑟 , 𝜃 ) en utilisant le changement de variable 𝑥 = 𝑟 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 𝜃 .
L'équation de la droite est donnée sous forme cartésienne : − 1 5 𝑥 + 3 𝑦 − 1 2 = 0 . Pour obtenir le coefficient directeur de la droite, il faut convertir l'équation ci-dessus sous la forme réduite 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏 , où 𝑚 est le coefficient directeur de la droite et 𝑏 est l'ordonnée 𝑦 à l'origine.
Définition 1.1.1 Le produit d'un vecteur v par un scalaire (nombre réel) k, noté k v, est un nouveau vecteur dont la direction est parall`ele `a celle de v. De plus, k v = |k| v. k v a la même direction que v si k > 0 et la direction contraire si k < 0.
Fiches méthodes. Si on a une fonction et qu'on cherche les coordonnées d'un point de sa courbe représentative : on choisit une valeur de x et on calcule y = f(x) en remplaçant x dans l'expression f(x) donnée. On obtient ainsi les coordonnées ( x ; y = f(x) ) d'un point de la représentation graphique de la fonction f.
Une méthode pour déterminer le point d'intersection entre les trois plans consiste à déterminer d'abord la droite d'intersection entre les deux premiers plans, puis à trouver le point d'intersection entre cette droite et le troisième plan.
1) Deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) appartenant à (D): On pose (D): y=ax+b. On remplace les coordonnées des points A et B dans cette équation réduite. On obtient yA=axA+b et yB=axB+b.
Si on connaît les coordonnées (a ; b) et (c ; d) de deux points d'une droite, on peut calculer son coefficient directeur m. On peut ensuite écrire immédiatement qu'une équation de cette droite est y - b = m(x - a).
On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : . On lit sur le graphique la valeur de l'ordonnée à l'origine p (c'est l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées). On trouve p = –2. L'équation de la droite (d2) est donc : y = x – 2.
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 2, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 2. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
On peut trouver la même équation en décomposant 𝐴 𝑀 comme 𝐴 𝑂 + 𝑂 𝑀 et en utilisant le vecteur position de 𝑀 , ⃑ 𝑟 = 𝑂 𝑀 , et celui de 𝐴 , ⃑ 𝐴 = 𝑂 𝐴 ; on trouve alors que 𝐴 𝑀 = ⃑ 𝑟 − ⃑ 𝐴 = 𝑡 ⃑ 𝑑 , c'est-à-dire ⃑ 𝑟 = ⃑ 𝐴 + 𝑡 ⃑ 𝑑 : il s'agit de l'équation de la droite sous forme vectorielle.