Le terme général d'une suite géométrique (un) peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel. Il est ainsi possible, connaissant u0 (ou up) et q, de calculer n'importe quel terme de la suite.
On peut exprimer un en fonction de n. Par exemple, soit (un)n∈ la suite définie par, pour tout entier naturel n : un = n2. On a : u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 9... On peut aussi calculer, par exemple : un+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n+ 1 qu'il ne faut pas confondre avec un + 1 = n2 + 1.
On donne l'expression de v_n en fonction de n. Deux cas se présentent : Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n, v_n=v_0+nr. Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n, v_n=q^nv_0.
Suites arithmétiques
Il existe une formule pour calculer la valeur de n'importe quel terme d'une suite arithmétique, à condition de connaître la raison et le premier terme de la suite. La formule à utiliser est : u n = u 0 + n r où est le premier terme de la suite arithmétique et sa raison.
A) Expression du terme général en fonction de n : ▶ si le premier terme est u0, alors : un = u0 + nr ; ▶ si le premier terme est up (p < n), alors : un = up + (n − p)r . a) La suite (un) définie par : u0 = 2 et un+1 = 3un pour tout n ∈ .
Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique. Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr.
Pour déterminer la raison d'une suite géométrique donnée, on divise n'importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
La définition d'une suite. Définir une suite, c'est donner une formule permettant de calculer tous ses termes. Une suite peut être définie de manière explicite (la valeur de chaque terme est directement donnée) ou par récurrence (la valeur d'un terme est donnée en fonction du terme précédent).
m et p sont deux nombres donnés. La fonction f qui associe à tout nombre x le nombre mx + p est une fonction affine. Son expression algébrique s'écrit : f(x) = mx + p. m est le coefficient directeur de la fonction et on ajoute p au résultat.
Pour calculer la quantité de matière demandée, il faut donc utiliser la formule n = C × V, où n représente la quantité de matière d'ions argent.
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est donnée par la formule : a(1-qⁿ)/(1-q). Dans cette vidéo, on donne une justification assez simple de cette formule.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque u n u_n un s'exprime directement en fonction de n. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
Écrire l'hérédité
On montre alors que la propriété est vraie au rang n+1. Pour cela, on utilise : L'hypothèse de récurrence : on a supposé P\left( n \right) vraie. Une relation de récurrence : lorsqu'une suite est définie par récurrence, il existe un lien entre l'expression du rang n+1 de la suite et celle du rang n.
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn.
Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
Ainsi que l'indique l'Académie française «la locution de suite [est] souvent employée à tort à la place de tout de suite». Elle signifie en réalité «l'un après l'autre, sans interruption». De cette façon, dire «Je reviens de suite», n'a guère de sens.
∑ [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .
Pour déterminer le premier terme de la suite, il suffit de remplacer la raison dans une des équations et résoudre pour . Calculer la raison d'une suite arithmétique nous aide à déterminer son sens de variation.
La somme des 𝑛 premiers termes d'une suite arithmétique peut être calculée en utilisant la formule 𝑆 = 𝑛 2 ( 2 𝑇 + ( 𝑛 − 1 ) 𝑟 ) , où 𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.
donc (Un) n'est pas une suite arithmétique. 2- Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Remarque2: cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr.
Il est également possible de définir une suite croissante, et une suite décroissante. Par exemple, une suite (un)n∈N ( u n ) n ∈ N est croissante si pour tout n∈N n ∈ N , un≤un+1 u n ≤ u n + 1 .
Pour montrer qu'une suite (Vn) n'est pas géométrique, il suffit de calculer les 3 (voire les 4 ou 5) premiers termes V0, V1 et V2 et de constater que, si V_1 \ne 0 et V_0 \ne 0, \frac{{V_2 }}{{V_1 }} \ne \frac{{V_1 }}{{V_0 }}.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut démontrer que le quotient u n + 1 u n est constant pour tout nombre entier . Pour trouver la raison d'une suite géométrique, nous pouvons utiliser sa définition ou exploiter le terme général de la suite.